Υπάρχει λάθος

alekos100 · #1

Δίνεται συνάρτηση $f:R\rightarrow (0,+\infty )$ παραγωγίσιμη με f(0)=e

. Η

είναι αρχική της f(x)

και ισχύει οτι $e^{x}F(x)=f(x)$ για κάθε $x\in R$
α.Να βρείτε τον τύπο της f(x)

Η λύση μου:
Η F(x)

είναι αρχική της $f(x) \Rightarrow F{}'(x)=f(x)$

$e^{x}F{}(x)=f(x)\Rightarrow F(x)=\frac{f(x)}{e^{x}}>0$ , ( $f:R\rightarrow (0,+\infty )$ )

για x=0

, έχουμε $e^{0} F(0)=f(0) \Rightarrow F(0)=e$

$e^{x}F(x)=f(x) \Rightarrow e^{x}F(x)= F{}'(x)\Rightarrow e^{x}=\frac{F{}'(x)}{F(x)} \Rightarrow(e^{x}){}'=(ln(F(x)){}'$
$\Rightarrow e^{x}=ln(F(x))+c$

για x=0

, έχουμε $e^{0} =ln(F(0))+c \Rightarrow 1=1+c \Rightarrow c=0$

Άρα $e^{x}=ln(F(x)) \Rightarrow F(x)=e^{e^{x}}$

$f(x)=F{}'(x)=e^{e^{x}}e^{x}=e^{e^{x}+x}$

Απάντηση βιβλίου

$F(x)=\frac{f(x)}{e^{x}}$

άρα $F{}'(x)=\frac{f{}'(x)-f(x)}{e^{x}}\Rightarrow \frac{f{}'(x)}{f(x)}=e^{x}+1$

και τελικά $f(x)=e^{e^{x}+x}$

#2

Η ερώτηση ποια είναι;

alekos100 · #3

Αν η δική μου λύση είναι σωστή (άγχος ) γιατί είναι διαφορετική από του βιβλίου
Ευχαριστώ

#4

Αφού βρήκες την ίδια απάντηση, γιατί ανησυχείς.

Η λύση σου δεν διαφέρει ουσιαστικά από του βιβλίου. Η μόνη διαφορά είναι ότι η
δική σου είναι μάλλον περισσότερο αναλυτική από ότι χρειάζεται, ενώ του βιβλίου
είναι ολιγόλογη.

Υπάρχει λάθος

Υπάρχει λάθος

Re: Υπάρχει λάθος

Re: Υπάρχει λάθος

Re: Υπάρχει λάθος

Μέλη σε σύνδεση