Πλήθος ριζών εξίσωσης

mathsrebel · #1

Να δείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο ρίζες για την εξίσωση

$\displaystyle{6^x+7^x=2^x+9^x.}$

"Η εξίσωση είναι σωστή γιατί είναι όμορφη." --- Dirac

apotin · #2

$\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x=2}$

#3

apotin έγραψε: $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x=2}$

Νομίζω ότι το αληθινό πνεύμα της ερώτησης είναι να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ακριβώς δύο ρίζες.

Θα το αφήσω προσωρινά χωρίς να γράψω λύση, και αν χρειαστεί (που δεν θα χρειαστεί) θα την γράψω αργότερα.

mathsrebel · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε:
apotin έγραψε: $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x=2}$
Νομίζω ότι το αληθινό πνεύμα της ερώτησης είναι να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ακριβώς δύο ρίζες.

Θα το αφήσω προσωρινά χωρίς να γράψω λύση, και αν χρειαστεί (που δεν θα χρειαστεί) θα την γράψω αργότερα.

Προφανώς αυτό είναι το νόημα...Δυστυχώς η συνημμένη φωτό που είχα την αρχική διατύπωση αντικαταστάθηκε από συντονιστή με κείμενο στο οποίο έλειπε η λέξη "ακριβώς"

#5

mathsrebel έγραψε: Προφανώς αυτό είναι το νοημα...Δυστυχως η συννημενη φωτο που ειχα την αρχικη διατυπωση αντικατασταθηκε απο συντονιστη με κειμενο στο οποιο ελειπε η λεξη "ακριβως"

Αυτά παθαίνεις αν δεν ακολουθείς τους κανονισμούς του φόρουμ (*). Οι Γενικοί Συντονιστές θα μπορούσαν κάλλιστα να διαγράψουν το μήνυμά σου, αλλά έδειξαν ανοχή. Καλοσύνη τους που απαιώρησαν το συνημμένο αλλά έκαναν τον κόπο να το μεταγράψουν.

Επίσης θα μπορούσαν να διαγράψουν και το νέο μήνυμά σου διότι είναι ανορθόγραφο (οι λέξεις στα ελληνικά τονίζονται, και το απαιτούν ρητά οι κανονισμοί μας). Θα σε παρότρυνα, με όλο τον σεβασμό, να έκανες την διόρθωση. Μας διαβάζουν μαθητές, οπότε πρέπει εμείς οι δάσκαλοι να είμαστε υπόδειγμα ως προς την γλώσσα.

(*) Θα τους βρεις στην προμετωπίζα του ιστότοπου.

mathsrebel · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
mathsrebel έγραψε: Προφανώς αυτό είναι το νοημα...Δυστυχως η συννημενη φωτο που ειχα την αρχικη διατυπωση αντικατασταθηκε απο συντονιστη με κειμενο στο οποιο ελειπε η λεξη "ακριβως"
Αυτά παθαίνεις αν δεν ακολουθείς τους κανονισμούς του φόρουμ (*). Οι Γενικοί Συντονιστές θα μπορούσαν κάλλιστα να διαγράψουν το μήνυμά σου, αλλά έδειξαν ανοχή. Καλοσύνη τους που το μετέγραψαν.

Επίσης θα μπορούσαν να διαγράψουν και το νέο μήνυμά σου διότι είναι ανορθόγραφο (οι λέξεις στα ελληνικά τονίζονται, και το απαιτούν ρητά οι κανονισμοί μας). Θα σε παρότρυνα, με όλο τον σεβασμό, να έκανες την διόρθωση. Μας διαβάζουν μαθητές, οπότε πρέπει εμείς οι δάσκαλοι να είμαστε υπόδειγμα ως προς την γλώσσα.

(*) Θα τους βρεις στην προμετωπίζα του ιστότοπου.

Σας ευχαριστώ για την υπόδειξη....Παρακαλώ να κάνετε δεκτή την συγγνώμη μου...ελπίζω τώρα να είμαι συμβατός με τους κανόνες τους οποίους άθελά μου παραβίασα...

apotin · #7

apotin έγραψε: $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x=2}$

Επανέρχομαι μετά τη διόρθωση και θα δείξω ότι οι ρίζες $\displaystyle{0, 2}$ είναι μοναδικές
Έστω ότι η εξίσωση έχει και τρίτη ρίζα $\displaystyle{p \ne 0, 2}$
Τότε θα ισχύει:
$\displaystyle{{6^p} + {7^p} = {2^p} + {9^p} \Leftrightarrow {36^{\frac{p}{2}}} + {49^{\frac{p}{2}}} = {4^{\frac{p}{2}}} + {81^{\frac{p}{2}}} \Leftrightarrow \frac{{{{36}^{\frac{p}{2}}} - {4^{\frac{p}{2}}}}}{{36 - 4}} = \frac{{{{81}^{\frac{p}{2}}} - {{49}^{\frac{p}{2}}}}}{{81 - 49}}}$ $\displaystyle{(1)}$

Θεωρώ τη συνάρτηση $\displaystyle{f\left( t \right) = {t^{\frac{p}{2}}},t > 0}$ με $\displaystyle{f'\left( t \right) = p{t^{\frac{p}{2} - 1}}}$ $\displaystyle{,t > 0}$

Με εφαρμογή του ΘΜΤ για την $\displaystyle{f}$ στα διαστήματα $\displaystyle{[4, 36]}$ και $\displaystyle{[49, 81]}$ βρίσκουμε ότι υπάρχουν

$\displaystyle{{x_1} \in \left( {4, 36} \right):f'\left( {{x_1}} \right) = \frac{{{{36}^{\frac{p}{2}}} - {4^{\frac{p}{2}}}}}{{36 - 4}}}$ και

$\displaystyle{{x_2} \in \left( {49, 81} \right):f'\left( {{x_2}} \right) = \frac{{{{81}^{\frac{p}{2}}} - {{49}^{\frac{p}{2}}}}}{{81 - 49}}}$

Αλλά τότε λόγω της $\displaystyle{(1)}$ έχουμε
$\displaystyle{f'\left( {{x_1}} \right) = f'\left( {{x_2}} \right) \Leftrightarrow px_1^{\frac{p}{2} - 1} = px_2^{\frac{p}{2} - 1} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^{\frac{p}{2} - 1}} = 1 \Leftrightarrow p = 2}$ , άτοπο

Άρα οι ρίζες $\displaystyle{0, 2}$ είναι μοναδικές

mathsrebel · #8

apotin έγραψε:
apotin έγραψε: $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x=2}$
Επανέρχομαι μετά τη διόρθωση και θα δείξω ότι οι ρίζες $\displaystyle{0, 2}$ είναι μοναδικές
Έστω ότι η εξίσωση έχει και τρίτη ρίζα $\displaystyle{p \ne 0, 2}$
Τότε θα ισχύει:
$\displaystyle{{6^p} + {7^p} = {2^p} + {9^p} \Leftrightarrow {36^{\frac{p}{2}}} + {49^{\frac{p}{2}}} = {4^{\frac{p}{2}}} + {81^{\frac{p}{2}}} \Leftrightarrow \frac{{{{36}^{\frac{p}{2}}} - {4^{\frac{p}{2}}}}}{{36 - 4}} = \frac{{{{81}^{\frac{p}{2}}} - {{49}^{\frac{p}{2}}}}}{{81 - 49}}}$ $\displaystyle{(1)}$

Θεωρώ τη συνάρτηση $\displaystyle{f\left( t \right) = {t^{\frac{p}{2}}},t > 0}$ με $\displaystyle{f'\left( t \right) = p{t^{\frac{p}{2} - 1}}}$ $\displaystyle{,t > 0}$

Με εφαρμογή του ΘΜΤ για την $\displaystyle{f}$ στα διαστήματα $\displaystyle{[4, 36]}$ και $\displaystyle{[49, 81]}$ βρίσκουμε ότι υπάρχουν

$\displaystyle{{x_1} \in \left( {4, 36} \right):f'\left( {{x_1}} \right) = \frac{{{{36}^{\frac{p}{2}}} - {4^{\frac{p}{2}}}}}{{36 - 4}}}$ και

$\displaystyle{{x_2} \in \left( {49, 81} \right):f'\left( {{x_2}} \right) = \frac{{{{81}^{\frac{p}{2}}} - {{49}^{\frac{p}{2}}}}}{{81 - 49}}}$

Αλλά τότε λόγω της $\displaystyle{(1)}$ έχουμε
$\displaystyle{f'\left( {{x_1}} \right) = f'\left( {{x_2}} \right) \Leftrightarrow px_1^{\frac{p}{2} - 1} = px_2^{\frac{p}{2} - 1} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^{\frac{p}{2} - 1}} = 1 \Leftrightarrow p = 2}$ , άτοπο

Άρα οι ρίζες $\displaystyle{0, 2}$ είναι μοναδικές

Σας ευχαριστώ...
Αν μπορείτε βοηθείστε με και εδώ...
Να δείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο ρίζες για την εξίσωση

$\displaystyle{2\bullet 3^x+3\bullet 4^x=10^x+4\bullet 2^x.}$

"Η εξίσωση είναι σωστή γιατί είναι όμορφη." --- Dirac

mathsrebel · #9

Αφού ευχαριστήσω τον κύριο Mihalis_Lambrou και το μέλος apotin που μου "υπενθύμισαν" την πολύ γνωστή μέθοδο που φυσικά είναι γνωστή τουλάχιστον από την δεκαετία του '80 που υπήρξα και εγώ μαθητής (τι ωραίες στιγμές αλήθεια) αλλά και όλα τα μέλη της κοινότητας που διάβασαν αυτή την δημοσίευση ας απαντήσω στο ερώτημα που έθεσα στο μέλος apotin αλλά δυστυχώς δεν έλαβα εδώ και μια εβδομάδα απάντηση....Η απάντηση αυτή φυσικά μπορεί να δοθεί και στο αρχικό ερώτημα... Το ερώτημα που έθεσα στο μέλος apotin ήταν :
Να δείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο ρίζες για την εξίσωση $\displaystyle{2\bullet 3^x+3\bullet 4^x=10^x+4\bullet 2^x.}$

Ιδού λοιπόν η απάντηση:

Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί 0 και 1 είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{2\bullet 3^x+3\bullet 4^x=10^x+4\bullet 2^x.}$
Επομένως έχει τουλάχιστον δυο ρίζες .

Έστω ότι υπάρχουν περισσότερες από δυο ρίζες ,δηλαδή 3 τουλάχιστον ρίζες $\displaystyle{r_{1}<r_{2}<r_{3}}$ , για την εξίσωση
$\displaystyle{2\bullet 3^x+3\bullet 4^x=10^x+4\bullet 2^x\Leftrightarrow 2\bullet 3^x+3\bullet 4^x-10^x-4\bullet 2^x=0\Leftrightarrow2\bullet \left(\frac{3}{2} \right)^x+3\bullet 2^x-5^x-4=0}$
Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=2\bullet \left(\frac{3}{2} \right)^x+3\bullet 2^x-5^x-4, x\in R}$ .
H $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στα $\displaystyle{\left[ r_{1},r_{2}\right],\left[ r_{2},r_{3}\right]}$ ως άθροισμα, γινόμενο και διαφορά συνεχών συναρτήσεων.
Η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στα $\displaystyle{\left( r_{1},r_{2}\right),\left( r_{2},r_{3}\right)}$ ως άθροισμα, γινόμενο και διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων
(με $\displaystyle{f '(x)=2\bullet \left(\frac{3}{2} \right)^x\bullet ln\left(\frac{3}{2} \right)+3\bullet 2^x\bullet ln2-5^x\bullet ln5, x\in R}$ )
$\displaystyle{f(r_{1})=f(r_{2})=f(r_{3})=0}$ (αφού $\displaystyle{r_{1},r_{2},r_{3}}$ είναι ρίζες της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ ) .
Άρα από θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον μια ρίζα $\displaystyle{k_{1}\in \left( r_{1},r_{2}\right)}$ και τουλάχιστον μια ρίζα $\displaystyle{k_{2}\in \left( r_{2},r_{3}\right)}$ για την εξίσωση
$\displaystyle{f '(x)=0\Leftrightarrow 2\bullet \left(\frac{3}{2} \right)^x\bullet ln\left(\frac{3}{2} \right)+3\bullet 2^x\bullet ln2-5^x\bullet ln5=0\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\Leftrightarrow 2\bullet \left(\frac{3}{10} \right)^x\bullet ln\left(\frac{3}{2} \right)+3\bullet \left(\frac{2}{5} \right)^x\bullet ln2 -ln5= 0}$

Άτοπο , αφού η εξίσωση $\displaystyle{ 2\bullet \left(\frac{3}{10} \right)^x\bullet ln\left(\frac{3}{2} \right)+3\bullet \left(\frac{2}{5} \right)^x\bullet ln2 -ln5= 0}$ έχει το πολύ μια ρίζα
διότι η συνάρτηση $\displaystyle{ g(x)=2\bullet \left(\frac{3}{10} \right)^x\bullet ln\left(\frac{3}{2} \right)+3\bullet \left(\frac{2}{5} \right)^x\bullet ln2 -ln5, x\in R}$ είναι γνησίως φθίνουσα .
Η συνάρτηση $\displaystyle{ g}$ είναι γνησίως φθίνουσα αφού
$\displaystyle{ g '(x)=2\bullet \left(\frac{3}{10} \right)^x\bullet ln\left(\frac{3}{10} \right)\bullet ln\left(\frac{3}{2} \right)+3\bullet \left(\frac{2}{5} \right)^x\bullet ln\left(\frac{2}{5} \right)\bullet ln2 <0}$ για κάθε $\displaystyle{ x\in R}$
διότι
$\displaystyle{ \left(\frac{3}{10} \right)^x, \left(\frac{2}{5} \right)^x>0}$ για κάθε $\displaystyle{ x\in R}$ και $\displaystyle{ ln\left(\frac{3}{2} \right), ln2 >ln1=0 }$ και $\displaystyle{ln\left(\frac{3}{10} \right), ln\left(\frac{2}{5} \right)<ln1=0 }$ .
Άρα υπάρχουν το πολύ δυο ρίζες για την εξίσωση $\displaystyle{2\bullet 3^x+3\bullet 4^x=10^x+4\bullet 2^x.}$

Τελικά η εξίσωση $\displaystyle{2\bullet 3^x+3\bullet 4^x=10^x+4\bullet 2^x}$ έχει ακριβώς δυο ρίζες.

apotin · #10

mathsrebel έγραψε:
Σας ευχαριστώ...
Αν μπορείτε βοηθείστε με και εδώ...
Να δείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο ρίζες για την εξίσωση

$\displaystyle{2\bullet 3^x+3\bullet 4^x=10^x+4\bullet 2^x.}$

mathsrebel έγραψε:Αφού ευχαριστήσω τον κύριο Mihalis_Lambrou και το μέλος apotin που μου "υπενθύμισαν" την πολύ γνωστή μέθοδο που φυσικά είναι γνωστή τουλάχιστον από την δεκαετία του '80 που υπήρξα και εγώ μαθητής (τι ωραίες στιγμές αλήθεια) αλλά και όλα τα μέλη της κοινότητας που διάβασαν αυτή την δημοσίευση ας απαντήσω στο ερώτημα που έθεσα στο μέλος apotin αλλά δυστυχώς δεν έλαβα εδώ και μια εβδομάδα απάντηση....Η απάντηση αυτή φυσικά μπορεί να δοθεί και στο αρχικό ερώτημα... Το ερώτημα που έθεσα στο μέλος apotin ήταν :
Να δείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο ρίζες για την εξίσωση $\displaystyle{2\bullet 3^x+3\bullet 4^x=10^x+4\bullet 2^x.}$

Ιδού λοιπόν η απάντηση:

Αν με την ανάρτησή μου σε βοήθησα να βρεις μόνος σου τη λύση νομίζω πως καλά έκανα και δεν απάντησα στο 2ο ερώτημά σου, αν πάλι είχες την απάντηση πάλι καλά έκανα γιατί τελικά δεν χρειαζόσουν βοήθεια!

Πλήθος ριζών εξίσωσης

Πλήθος ριζών εξίσωσης

Re: Πλήθος ριζών εξίσωσης

Re: Πλήθος ριζών εξίσωσης

Re: Πλήθος ριζών εξίσωσης

Re: Πλήθος ριζών εξίσωσης

Re: Πλήθος ριζών εξίσωσης

Re: Πλήθος ριζών εξίσωσης

Re: Πλήθος ριζών εξίσωσης

Re: Πλήθος ριζών εξίσωσης

Re: Πλήθος ριζών εξίσωσης

Μέλη σε σύνδεση