Διχοτόμοι γωνιών παραλληλογράμμου

#1

: SX3.png (8.23 KiB) Προβλήθηκε 3153 φορές

Δίνεται παραλληλόγραμμο $AB\Gamma \Delta$ . Η διχοτόμος της γωνίας

τέμνει την πλευρά $\Delta \Gamma$ στο σημείο

και η διχοτόμος της γωνίας

τέμνει την

στο

. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $A\Delta E$ είναι ισοσκελές και το τρίγωνο AZB

είναι ορθογώνιο.

(Για μαθητές, μέχρι 2/4/16)

Eυ. N. · #2

Θέτουμε ως

την γωνία

και την γωνία

του παραλληλογράμμου. Και ως

την γωνία

και την γωνία

του παραλληλογράμμου. (Καθώς από τις ιδιότητες του πλάγιου παραλληλογράμμου οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.) Συνεπώς, έχουμε $a+a+2a+2a=360^{o}$ ή $a=60^{o}$ . Επομένως, $DAE=\frac{a}{2}=30^{o}$ . Για να είναι το DAE

ισοσκελές πρέπει DAE=AED

. Έτσι έχουμε στο τρίγωνο DAE

: $DAE+AED+ADE=180^{o}$ ή $AED=30^{o}$ . Άρα το τρίγωνο DAE

είναι ισοσκελές με DA=DE

&

. Η γωνία $BAZ=EAD=30^{o}$ & $ZBA=\frac{120}{2}=60^{o}.$ Στο τρίγωνο ZAB

]έχουμε $BAZ+ZBA+AZB=180^{o}$ ή $AZB=90^{o}$ . Άρα το ZAB

είναι ορθογώνιο στην AZB

.

#3

Eυ. N. έγραψε:Θέτουμε ως την γωνία και την γωνία του παραλληλογράμμου. Και ως την γωνία και την γωνία του παραλληλογράμμου. (Καθώς από τις ιδιότητες του πλάγιου παραλληλογράμμου οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.) Συνεπώς, έχουμε $a+a+2a+2a=360^{o}$ ή ${\color {red}a=60^{o}}$ . Επομένως, $DAE=\frac{a}{2}=30^{o}$ . Για να είναι το ισοσκελές πρέπει. Έτσι έχουμε στο τρίγωνο: $DAE+AED+ADE=180^{o}$ ή $AED=30^{o}$ . Άρα το τρίγωνοείναι ισοσκελές με &. Η γωνία $BAZ=EAD=30^{o}$ & $ZBA=\frac{120}{2}=60^{o}.$ Στο τρίγωνο]έχουμε $BAZ+ZBA+AZB=180^{o}$ ή $AZB=90^{o}$ . Άρα τοείναι ορθογώνιο στην.

Για ξαναδές το αυτό (το σημείο που κοκκίνισα).

Είναι σαν να λες, μετά τις πράξεις σου, ότι όλα τα παραλληλόγραμμα έχουν γωνία A=a=60^o

. Δεν υπάρχει άραγε παραλληλόγραμμο με A=45^o

ή οποιαδήποτε άλλη οξεία γωνία;

Γιώργος Απόκης · #4

Eυ. N. έγραψε:Θέτουμε ως την γωνία και την γωνία του παραλληλογράμμου. Και ως την γωνία και την γωνία του παραλληλογράμμου.

Καλημέρα. Έχεις χρησιμοποιήσει κάτι που δεν υπάρχει ως δεδομένο. Οι γωνίες είναι τυχαίες...

Τώρα είδα την απάντηση του Μιχάλη...

Eυ. N. · #5

Γιώργος Απόκης έγραψε:
Eυ. N. έγραψε:Θέτουμε ως την γωνία και την γωνία του παραλληλογράμμου. Και ως την γωνία και την γωνία του παραλληλογράμμου.
Καλημέρα. Έχεις χρησιμοποιήσει κάτι που δεν υπάρχει ως δεδομένο. Οι γωνίες είναι τυχαίες...

Τώρα είδα την απάντηση του Μιχάλη...

Έχετε απόλυτο δίκιο, αλλά βλέπουμε ότι για οποιεσδήποτε τιμές των γωνιών ισχύουν τα παραπάνω ζητούμενα της εκφώνησης. Εγώ απλά παρέθεσα ένα παράδειγμα τιμών.(Βέβαια δεν γνωρίζω αν έπρεπε να το αναφέρω αυτό στην απάντηση που έδωσα)

Eυ. N. · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Eυ. N. έγραψε:Θέτουμε ως την γωνία και την γωνία του παραλληλογράμμου. Και ως την γωνία και την γωνία του παραλληλογράμμου. (Καθώς από τις ιδιότητες του πλάγιου παραλληλογράμμου οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.) Συνεπώς, έχουμε $a+a+2a+2a=360^{o}$ ή ${\color {red}a=60^{o}}$ . Επομένως, $DAE=\frac{a}{2}=30^{o}$ . Για να είναι το ισοσκελές πρέπει. Έτσι έχουμε στο τρίγωνο: $DAE+AED+ADE=180^{o}$ ή $AED=30^{o}$ . Άρα το τρίγωνοείναι ισοσκελές με &. Η γωνία $BAZ=EAD=30^{o}$ & $ZBA=\frac{120}{2}=60^{o}.$ Στο τρίγωνο]έχουμε $BAZ+ZBA+AZB=180^{o}$ ή $AZB=90^{o}$ . Άρα τοείναι ορθογώνιο στην.
Για ξαναδές το αυτό (το σημείο που κοκκίνισα).

Είναι σαν να λες, μετά τις πράξεις σου, ότι όλα τα παραλληλόγραμμα έχουν γωνία . Δεν υπάρχει άραγε παραλληλόγραμμο με ή οποιαδήποτε άλλη οξεία γωνία;

Στο σημείο με τα κόκκινα ύπαρχει λάθος διατύπωση από μέρους μου. Έπρεπε να πώ θέτω ως

το μέτρο των γωνιών...

Φανης Θεοφανιδης · #7

Είναι $\hat{A}+\hat{B}=180^{0} \Rightarrow \hat{\frac{A}{2}}+\hat{\frac{B}{2}}=90^{0} \Rightarrow$
$\Rightarrow \hat{ZAB}+\hat{ZBA}=90^{0} \Rightarrow \hat{AZB}=90^{0}$ .
Επίσης $E\Delta \parallel AB \Rightarrow \hat{\Delta EA}=\hat{EAB} \Rightarrow \hat{\Delta EA}=\hat{\Delta AE}$ .

Γιώργος Απόκης · #8

Eυ. N. έγραψε: Έχετε απόλυτο δίκιο, αλλά βλέπουμε ότι για οποιεσδήποτε τιμές των γωνιών ισχύουν τα παραπάνω ζητούμενα της εκφώνησης. Εγώ απλά παρέθεσα ένα παράδειγμα τιμών.(Βέβαια δεν γνωρίζω αν έπρεπε να το αναφέρω αυτό στην απάντηση που έδωσα)

Θα πρέπει να αποδεικνύεται αυτό που "βλέπουμε". Το παράδειγμα δεν αρκεί

Eυ. N. έγραψε: Στο σημείο με τα κόκκινα ύπαρχει λάθος διατύπωση από μέρους μου. Έπρεπε να πώ θέτω ως το μέτρο των γωνιών...

Δεν αναφερόμασταν στη λεπτομέρεια της διατύπωσης (μέτρο γωνίας αντί για γωνία) αλλά στο ότι θεώρησες αυθαίρετα τη μία γωνία διπλάσια της άλλης

Διχοτόμοι γωνιών παραλληλογράμμου

Διχοτόμοι γωνιών παραλληλογράμμου

Re: Διχοτόμοι γωνιών παραλληλογράμμου

Re: Διχοτόμοι γωνιών παραλληλογράμμου

Re: Διχοτόμοι γωνιών παραλληλογράμμου

Re: Διχοτόμοι γωνιών παραλληλογράμμου

Re: Διχοτόμοι γωνιών παραλληλογράμμου

Re: Διχοτόμοι γωνιών παραλληλογράμμου

Re: Διχοτόμοι γωνιών παραλληλογράμμου

Μέλη σε σύνδεση