Προετοιμασία για τον... γολγοθά!

maiksoul · #1

Καλησπέρα σε όλους!
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με $f(3f(3))=f(1)+f(3)\;\;\;(1)$ , συνεχή παράγωγο και $f'(x)\neq 1\neq f(-x)\;\;\forall x>0\;\;\;(2)$

που ικανοποιεί την ισότητα : $f^3(f(3)x)+f(x)=x-1\;\;\;\forall x\in R\;\;\;\;(3)$

Να λυθεί η εξίσωση: $f[11f'(x)]=6f(\frac{37}{27})$

hsiodos · #2

maiksoul έγραψε:Καλησπέρα σε όλους!
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με $f(3f(3))=f(1)+f(3)\;\;\;(1)$ , συνεχή παράγωγο και $f'(x)\neq 1\neq f(-x)\;\;\forall x>0\;\;\;(2)$

που ικανοποιεί την ισότητα : $f^3(f(3)x)+f(x)=x-1\;\;\;\forall x\in R\;\;\;\;(3)$

Να λυθεί η εξίσωση: $f[11f'(x)]=6f(\frac{37}{27})$

Μιχάλη έχω την εντύπωση ότι κάτι δεν πάει καλά , εκτός και αν κάπου κάνω λάθος.

Θέτουμε $\displaystyle{f(3) = a}$ οπότε έχουμε:

$\displaystyle{f(3a) = f(1) + a\,\,\,(1)\,\,\,\,,\,\,\,\,{f{'}}(x) \ne 1 \ne f( - x)\,\,\,\forall x > 0\,\,\,\,(2)\,\,\,,\,\,\,{f^3}(ax) + f(x) = x - 1\,\,\,\forall x \in R\,\,\,\,(3)\,}$

$\displaystyle{(3)\mathop \Rightarrow \limits^{x = 1} \,\,{f^3}(a) + f(1) = 0\,\,\,(4)\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,}$

$\displaystyle{(3)\mathop \Rightarrow \limits^{x = 3} \,\,{f^3}(3a) + \alpha = 2\,\, \Rightarrow \,{f^3}(3a) = 2 - a\,\,\,(5)\,\,}$

$\displaystyle{ \bullet \,\,(3)\mathop \Rightarrow \limits^{x = 0} {f^3}(0) + f(0) = - 1 \Rightarrow f(0)\left( {{f^2}(0) + 1} \right) = - 1 \Rightarrow - 1 < \,f(0) < 0}$

$\displaystyle{ \bullet \,\,\,\alpha \nu \,\,\,a = 0\,\,,\,\,\,\,(1) \Rightarrow f(0) = f(1)\mathop \Rightarrow \limits^{(4)} f(0) = 0\,\,\,}$ άτοπο , οπότε $\displaystyle{a \ne 0}$ .

$\displaystyle{ \bullet }$ Παραγωγίζοντας τα μέλη της $\displaystyle{(3)}$ παίρνουμε $\displaystyle{3a{f^2}(ax){f{'}}(ax) + {f{'}}(x) = 1\,\,\,\,\forall x \in R\,\,\,\,(6)\,\,}$ και θέτοντας στην $\displaystyle{(6)}$ όπου $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{{\frac{x}{a}}}$ προκύπτει ότι

$\displaystyle{3a{f^2}(x){f{'}}(x) + {f{'}}\left( {\frac{x}{a}} \right) = 1\,\,\,\,\forall x \in R\,\,\,\,(7)}$

$\displaystyle{ \bullet }$ Έστω $\displaystyle{a > 0}$

Αν υπάρχει $\displaystyle{b > 0}$ ώστε $\displaystyle{f(b) = 0}$ τότε $\displaystyle{(7)\mathop \Rightarrow \limits^{x = b} {f{'}}\left( {\frac{b}{a}} \right) = 1}$ , άτοπο λόγω της $\displaystyle{(2)}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{f(x) \ne 0\,\,\forall x \in \left[ {0\,,\, + \infty } \right)\,}$ και επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{R}$ ως παραγωγίσιμη με $\displaystyle{f(0) < 0}$ θα είναι $\displaystyle{\,f(x) < 0\,\,\,\forall x \in \left[ {0\,,\, + \infty } \right) \Rightarrow f(3) < 0 \Rightarrow a < 0}$ ,άτοπο.

$\displaystyle{ \bullet }$ Έστω $\displaystyle{a < 0}$

Αν υπάρχει $\displaystyle{c < 0}$ ώστε $\displaystyle{f(c) = 0}$ τότε $\displaystyle{\,(7)\mathop \Rightarrow \limits^{x = c} {f{'}}\left( {\frac{c}{a}} \right) = 1\,\,}$ , άτοπο λόγω της $\displaystyle{(2)}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{f(x) \ne 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty \,\,,\,\,0} \right]\,}$ και επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{R}$ ως παραγωγίσιμη με $\displaystyle{f(0) < 0}$ θα είναι $\displaystyle{\,f(x) < 0\,\,\,\forall x \in \left( { - \infty \,\,,\,\,0} \right] \Rightarrow f(3a) < 0\mathop \Rightarrow \limits^{(5)} 2 - a < 0 \Rightarrow a > 2}$ , άτοπο.

Καταλήγουμε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $\displaystyle{f}$ που να πληροί τα δεδομένα.

G.Bas · #3

maiksoul έγραψε:Καλησπέρα σε όλους!
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με $f(3f(3))=f(1)+f(3)\;\;\;(1)$ , συνεχή παράγωγο και $f'(x)\neq 1\neq f(-x)\;\;\forall x>0\;\;\;(2)$

που ικανοποιεί την ισότητα : $f^3(f(3)x)+f(x)=x-1\;\;\;\forall x\in R\;\;\;\;(3)$

Να λυθεί η εξίσωση: $f[11f'(x)]=6f(\frac{37}{27})$

Αν κάνουμε μια μικρή αλλαγή στα δεδομένα τότε η άσκηση σώζεται, δηλαδή

Έστω γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $\displaystyle{f(3f(3))=f(1)+f(3)}$

που ικανοποιεί την ισότητα $\displaystyle{f^3(f(3)x)+f(x)=x-1\, \forall x\in\mathbb{R}\quad (1).}$

Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{f(11f'(x))=6f\left(\frac{37}{27}\right).}$

Η λύση είναι ως εξής.

Θα αποδείξουμε αρχικά πως $\displaystyle{{f(3)=1}$

Ας είναι f(3)>1

.
Τότε $\displaystyle{3f(3)>3\Rightarrow f(3f(3))>f(3)\Rightarrow f(1)+f(3)>f(3)\Rightarrow f(1)>0.}$

Η $\displaystyle{(1)}$ για x=1

δίνει $\displaystyle{f^3(f(3))=-f(1)<0\Rightarrow f(f(3))<0.}$

Όμως, $\displaystyle{1<f(3)\Rightarrow f(1)<f(f(3))<0\Rightarrow f(1)<0}$ , άτοπο.

Ομοίως, για την περίπτωση f(3)<1

καταλήγουμε σε άτοπο, οπότε θα' ναι f(3)=1

.

Η

τότε γίνεται $\displaystyle{f^3(x)+f(x)=x-1}$ και για x=37/27

παίρνουμε $\displaystyle{f^3(37/27)+f(37/27)=\frac{10}{27}\Rightarrow f\left(\frac{37}{27}\right)=\frac{1}{3}.}$

Άρα, η εξίσωση γράφεται τώρα $\displaystyle{f(11f'(x))=2.}$

Η (1)

για

δίνει $\displaystyle{f^3(11)+f(11)=10\Rightarrow f(11)=2}$ οπότε η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{f(11f'(x))=f(11)\Rightarrow 11f'(x)=11\Rightarrow f'(x)=1.}$ Από παραγώγιση της (1)

έχουμε $\displaystyle{3f^2(x)f'(x)+f'(x)=1\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{3f^2(x)+1}}$

άρα η εξίσωση εν τέλει γράφεται

$\displaystyle{\frac{1}{3f^2(x)+1}=1\Rightarrow f^2(x)=0\Rightarrow f(x)=0}$ η οποία έχει ως μοναδική λύση, λόγω μονοτονίας, την x=1

αφού η

για

δίνει

$\displaystyle{f^3(1)+f(1)=0\Rightarrow f(1)(f^2(1)+1)=0\Rightarrow f(1)=0}$ .

maiksoul · #4

Καλησπέρα , καταρχήν να ευχαριστήσω τον Γιώργο Ροδόπουλο και να πω πως πράγματι έχει δίκιο , όπως επίσης και τον έτερο Γιώργο .Αυτό που είχα στο μυαλό μου είναι

maiksoul έγραψε:Καλησπέρα σε όλους!
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με $f(3f(3))=f(1)+f(3)\;\;\;(1)$ , συνεχή παράγωγο και $f'(-x)\neq 1\;\;\forall x>0\;\kappa \alpha \iota f'(x)\neq 1 \;\;\;\;\forall x\in(0,1)U(1,+\propto )\;\;(2)$

που ικανοποιεί την ισότητα : $f^3(f(3)x)+f(x)=x-1\;\;\;\forall x\in R\;\;\;\;(3)$

Να λυθεί η εξίσωση: $f[11f'(x)]=6f(\frac{37}{27})$

Νομίζω πως έτσι είναι όλα εντάξει και δεχόμαστε διάφορες λύσεις.

#5

Μιχάλη καλησπέρα! Εγώ δε βλέπω το λόγο γιατί να είναι τόσο σύνθετα δοσμένη αυτή η πληροφορία.

maiksoul έγραψε: και $f'(-x)\neq 1\;\;\forall x>0\;\kappa \alpha \iota f'(x)\neq 1 \;\;\;\;\forall x\in(0,1)U(1,+\propto )\;\;(2)$

Αν μας έλεγε πως η παράγωγος είναι διαφορετική της μονάδας για κάθε $x \ne 0, 1$ δε θα ήταν το ίδιο;

maiksoul · #6

chris_gatos έγραψε:Μιχάλη καλησπέρα! Εγώ δε βλέπω το λόγο γιατί να είναι τόσο σύνθετα δοσμένη αυτή η πληροφορία.

maiksoul έγραψε: και $f'(-x)\neq 1\;\;\forall x>0\;\kappa \alpha \iota f'(x)\neq 1 \;\;\;\;\forall x\in(0,1)U(1,+\propto )\;\;(2)$
Αν μας έλεγε πως η παράγωγος είναι διαφορετική της μονάδας για κάθε $x \ne 0, 1$ δε θα ήταν το ίδιο;

Χρήστο, σωστά,πολύ ωραία. Ας γίνει έτσι η εκφώνηση λοιπόν !

Δηλαδή η παραπάνω πληροφορία να γραφει: $f'(x)\neq0 \;\;\;\forall x \in R -\{ 0,1 \}$

Προετοιμασία για τον... γολγοθά!

Προετοιμασία για τον... γολγοθά!

Re: Προετοιμασία για τον... γολγοθά!

Re: Προετοιμασία για τον... γολγοθά!

Re: Προετοιμασία για τον... γολγοθά!

Re: Προετοιμασία για τον... γολγοθά!

Re: Προετοιμασία για τον... γολγοθά!

Μέλη σε σύνδεση