Eξίσωση στους θετικούς ακεραίους

Κορίνα Διγαλάκη · #1

Να λυθεί η εξίσωση $a^{n}=n!$ , όπου a,n θετικοί ακέραιοι.

Κοτσόβολης Γιώργος · #2

Καλημέρα.
Θεωρούμε $p_{n}$ την ακολουθία των πρώτων αριθμών και έστω $n\geq 5$
Αν $p_{k}-1\geq n\geq p_{k-1}$
Έχω λόγω του παραγοντικού πως $a\equiv 0 mod p_{i}$ για i=1,2,3,...,k-1

Συνεπώς $a\geq p_{1}p_{2}...p_{k-1}\geq2p_{k-1}\geq p_{k}+1\geq n+2$ προφανώς άτοπον.
Άρα n=1

ή

.
Δεκτή μόνο η n=1

για

.

Κορίνα Διγαλάκη · #3

Από ΑΜ-GM για τους 1,2,..,n,

$a= \sqrt[n]{n!}\leq \left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor$ , όμως από το θ. Bertrand για n > 4

υπάρχει πρώτος

με $\left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor< p< 2\left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor-2< n$ άρα ο

διαιρεί τον

, άτοπο. Για n = 1,2,3,4

προκύπτει

.

jason.prod · #4

Καλημέρα.
Διέγραψα την προηγούμενη δημοσίευση νομίζοντας πως έχει λάθος. Μετά από έλεγχο, διεπίστωσα πως δεν είχε λάθος και την ξαναγράφω.
Υποθέτουμε ότι $n \ge 2$ , και ότι ο

είναι ο μέγιστος πρώτος με $p \le n$ . Τότε από Bertrand η μέγιστη δύναμη του

που διαιρεί το

είναι το 1, με αποτέλεσμα το

να μην μπορεί να είναι τέλεια δύναμη ακεραίου. Άρα, $n=1 \Longrightarrow a=1$ , δεκτή.

Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να λύσουμε και τη γενίκευση:
Πότε το

γίνεται τέλεια δύναμη ακεραίου;

dement · #5

Έστω

τυχαίος πρώτος. Η δύναμή του στο

είναι αυστηρά μικρότερη του $\displaystyle \frac{n}{p-1}$ και είναι πολλαπλάσιο του

. Άρα είναι

για όλους τους πρώτους και a = n = 1

.

Eξίσωση στους θετικούς ακεραίους

Eξίσωση στους θετικούς ακεραίους

Re: Eξίσωση στους θετικούς ακεραίους

Re: Eξίσωση στους θετικούς ακεραίους

Re: Eξίσωση στους θετικούς ακεραίους

Re: Eξίσωση στους θετικούς ακεραίους

Μέλη σε σύνδεση