ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

#1

...Καλησπέρα

με ένα προβληματισμό για την αλήθεια της παρακάτω συνεπαγωγής....

στα πλαίσια της σχολικής ύλης (μπορεί να δειχθεί;)

Αν $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(g(x))=+\infty$ και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty$ τότε $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

dement · #2

Δεν ισχύει, Βασίλη. Έστω, π.χ. η

ταυτοτική στους ακέραιους και μηδενική στους μη ακέραιους ενώ η

είναι το ακέραιο μέρος.

#3

Ναι Δημήτρη ίσως δεν το τόνισα και εγώ...
με δεδομένο όμως ότι

και

να είναι συνεχείς νομίζω ότι είναι αληθής

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#4

KAKABASBASILEIOS έγραψε:.... στα πλαίσια της σχολικής ύλης (μπορεί να δειχθεί;)

Αν $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(g(x))=+\infty$ και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty$ τότε $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$

KAKABASBASILEIOS έγραψε: με δεδομένο όμως ότι και να είναι συνεχείς νομίζω ότι είναι αληθής

Θα χρειαστεί μόνο η συνέχεια της

. Βάζω απόδειξη η οποία μπορεί να διαμορφωθεί εντός Σχολικής ύλης, όμως είναι τελείως εκτός πνεύματος εξετάσεων. Είναι "ότι πρέπει" για μάθημα Ανάλυσης στο Πανεπιστήμιο.

Έστω ότι δεν ισχύει το $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$ . Τότε υπάρχει

και γνήσια αύξουσα προς το άπειρο ακολουθία (x_n)

με $f(x_n) \le M$ .

Κατασκευάζουμε τώρα επαγωγικά μία αύξουσα ακολουθία (y_k)

που τείνει στο άπειρο και μία υπακολουθία $(x_{n_k})$ της (x_n)

ως εξής: Παίρνουμε y_1

με

(μπορούμε να το κάνουμε λόγω της υπόθεσης $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty$ ).

Αφού έχουμε ορίσει τα $y_1, \, y_2, \, ... \, y_k$ και $x_{n_1}, \, ... \, x_{n_k}$ ορίζουμε τα $y_{k+1}, \, x_{n_{k+1}}$ από τα εξής.

Παίρνουμε $x_{n_{k+1}} > x_{n_k}$ με $x_{n_{k+1}} > g(y_{n_k})$ . Μετά $y_{k+1} > y_k$ και $y_{k+1} > k+1$ με $g(y_{k+1} ) > x_{n_{k+1}}$ (μπορούμε). Με άλλα λόγια έχουμε $g(y_{k+1} ) > x_{n_{k+1}} > g(y_{n_k})$ . Αυτό ολοκληρώνει την επαγωγική κατάσκευή.

Τώρα, από Θ.Μ.Τ. στην συνεχή

στο διάστημα $[y_k, \, y_{k+1}]$ υπάρχει z_k

με $g(z_{k}) = x_{n_{k+1}}$ . Για την (z_k)

παρατηρούμε ότι πρώτον τείνει στο άπειρο (διότι $z_k>y_{k}$ ) και

$f(g(z_k)) = f(x_{n_{k+1}}) \le M$ που αντιβαίνει στην υπόθεση $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(g(x))=+\infty$ .

Από το άτοπο έπεται το αποδεικτέο.

Φιλικά,

Μιχάλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Η πρόταση που προτείνει ο Μιχάλης μπορεί να αποδειχθεί απ ευθείας.
Χρειάζεται μόνο ο ε-δ ορισμός του ορίου και το γεγονός ότι
μια συνεχής συνάρτηση απεικονίζει διαστήματα σε διαστήματα.

makisman · #6

Σχολικά μπορεί να γίνει ; Έχω την εντύπωση οτι χωρίς την αρχή της μεταφοράς δε γίνεται .

Αν κατάλαβα καλά την ερώτηση του Βασίλη ,έχει να κανει με τις με το Γ3 του ΟΕΦΕ ,οπου μάλιστα οι προτεινόμενη λύση έχει σφάλμα.

#7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Η πρόταση που προτείνει ο Μιχάλης μπορεί να αποδειχθεί απ ευθείας.
Χρειάζεται μόνο ο ε-δ ορισμός του ορίου και το γεγονός ότι
μια συνεχής συνάρτηση απεικονίζει διαστήματα σε διαστήματα.

Αληθώς.

Απόδειξη: Έστω M>0

. Θα δείξουμε ότι υπάρχει x_o

τέτοιο ώστε για κάθε $x\ge x_o$ είναι $f(x) \ge M$ που εξ ορισμού οδηγεί στο αποδεικτέο.

Αφού $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(g(x))=+\infty$ , υπάρχει x_1

τέτοιο ώστε για κάθε $z\ge x_1$ είναι $f(g(z) ) \ge M \, \, (*)$ .

Θα δείξουμε ότι το x_o=g(x_1)

μας κάνει, δηλαδή ότι για κάθε $x\ge g(x_1)$ ισχύει $f(x) \ge M$ .

Έστω λοιπόν $x\ge x_o =g(x_1)$ . Αφού $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty$ υπάρχει y > x_1

με

, με άλλα λόγια είναι $g(y) > x \ge x_o= g(x_1)$ . Από Θ.Μ.Τ. στο $[x_1, \, y]$ υπάρχει $z\in [x_1, \, y]$ με g(z)=x

. Ειδικά, λόγω της (*)

, είναι $f(g(z)) \ge M$ . Αλλά τότε τελειώσαμε αφού $f(x) = f(g(z)) \ge M$ .

Σχόλιο. Αξίζει να αναρωτηθούμε αν ισχύει το ίδιο αν θεωρήσουμε την

συνεχή αντί της

. Η απάντηση είναι αρνητική: Ο Δημήτρης παραπάνω έδωσε αντιπαράδειγμα όπου οι f,g

είναι και οι δύο ασυνεχής. Κλέβοντας την ιδέα από το αντιπαράδειγμα, μπορούμε με μικρή τροποποίηση να βρούμε

συνεχή. Συγκεκριμένα αν g(x) = [x]

και $f(x) = x \cos (2\pi x)$ τότε εύκολα βλέπουμε ότι $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(g(x))=+\infty$ αλλά δεν ισχύει $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

#8

Καλημέρα

Θα ήθελα να ρωτήσω την παρέα αν κάποιος υποψήφιος χρησιμοποιήσει το παραπάνω
τί επιπτώσεις μπορεί να έχει στην βαθμολογία του...

Φιλικά Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

Δεν ξέρω τι επιπτώσεις θα έχει στην Βαθμολογία.
Εκείνο που ξέρω είναι ότι θα γίνει ένας σπουδαίος επιστήμονας.
(αν δεν περάσει θα βρεί τρόπο)

ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

Re: ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

Re: ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

Re: ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

Re: ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

Re: ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

Re: ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

Re: ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

Re: ΑΛΗΘΕΙΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΉΣ

Μέλη σε σύνδεση