Τριγωνομετρική ανισότητα

hsiodos · #1

Με αφορμή την άσκηση του Θάνου στην διεύθυνση http://mathematica.gr/forum/viewtopic.p ... 30#p259859

Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\frac{1}{4} + \sin (1) - \cos \left( {\frac{1}{2}} \right) > 0}$

#2

$\dfrac{1}{2}>\dfrac{\pi}{8}$ οπότε $\cos \left (\dfrac{1}{2}\right)<\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

$1>\dfrac{\pi}{4}$ οπότε $\sin (1)>\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

Αρκεί να δείξουμε λοιπόν ότι $\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}>\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ ή

$\dfrac{1}{2}+\sqrt{2}>\sqrt{2+\sqrt{2}}$ ή

$\dfrac{1}{4}+2+\sqrt{2}>2+\sqrt{2}$ που ισχύει.

hsiodos · #3

Παύλο

#4

Μια πιο μπελαλίδικη προσέγγιση:

Και τα δύο μέλη είναι φανερά θετικά, οπότε αρκεί (τετραγωνισμός)

$\displaystyle{\frac{1}{16}+\sin ^21+\frac{1}{2}\sin 1>\frac{1+\cos 1}{2}.}$

Αυτή γράφεται

$\displaystyle{\left(2\sin ^21-\frac{7}{8}\right)+(\sin 1-\cos 1)>0.}$

Αυτή ισχύει γιατί

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{1>\frac{\pi}{4}\implies \tan 1>1\implies \sin 1>\cos 1}$

και

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{1>\frac{\pi}{4}\implies \sin 1>\frac{1}{\sqrt{2}}\implies 2\sin ^21>\frac{7}{8}.}$

Τριγωνομετρική ανισότητα

Τριγωνομετρική ανισότητα

Re: Τριγωνομετρική ανισότητα

Re: Τριγωνομετρική ανισότητα

Re: Τριγωνομετρική ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση