Ανισότητα

Λάμπρος Μπαλός · #1

Εστω

με

.

Να δείξετε ότι :

$\frac{a^{3}}{a+b} + \frac{b^{3}}{b+c} + \frac{c^{3}}{c+a} \geq \frac{1}{2}$

#2

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Εστω με .

Να δείξετε ότι :

$\frac{a^{3}}{a+b} + \frac{b^{3}}{b+c} + \frac{c^{3}}{c+a} \geq \frac{1}{2}$

Από την απλή και γνωστή ανισότητα $a^2+b^2+c^2 \ge ab + bc+ca=1$ (που βγαίνει με πολλούς τρόπους πέρα από την συμπλήρωση τετραγώνου, π.χ. από C-S ή την rearangement inequality) και από Holder είναι

$\displaystyle{\frac{a^3}{a+b}+\frac{b^3}{b+c}+\frac{c^3}{c+a}\geq \frac{(a+b+c)^3}{6(a+b+c)}=\frac{(a+b+c)^2}{6}=\frac{a^2+b^2+c^2 + 2ab + 2bc+2ca}{6}\ge \frac{1+2}{6}=\frac{1}{2}.}$

jason.prod · #3

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Εστω με .

Να δείξετε ότι :

$\frac{a^{3}}{a+b} + \frac{b^{3}}{b+c} + \frac{c^{3}}{c+a} \geq \frac{1}{2}$

Από την ανισότητα Holder έχουμε $(1+1+1)(a+b+b+c+c+a)(\frac{a^3}{a+b} + \frac{b^3}{b+c} + \frac {c^3}{c+a}) \ge (a+b+c)^3$ άρα $LHS \ge \frac{(a+b+c)^2}{6} \ge \frac{1}{2}$ αφού $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)=3$ .

** Με πρόλαβε ο κ. Λάμπρου, το αφήνω για τον κόπο.

G.Bas · #4

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Εστω με .

Να δείξετε ότι :

$\frac{a^{3}}{a+b} + \frac{b^{3}}{b+c} + \frac{c^{3}}{c+a} \geq \frac{1}{2}$

Ισχύει σύμφωνα με την Ανισότητα Cauchy-Schwarz

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{a^3}{a+b}+\frac{b^3}{b+c}+\frac{c^3}{c+a}&\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a(a+b)+b(b+c)+c(c+a)}\\&=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+1}\geq\frac{1}{2}\end{aligned}}$

με την τελευταία Ανισότητα να ισχύει αφού ισοδύναμα γράφεται $\displaystyle{[2(a^2+b^2+c^2)+1](a^2+b^2+c^2-1)\geq 0.}$

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση