Να βρεθεί η συνάρτηση

venpan · #1

f παραγωγίσιμη $f:(0,+\infty) \to R$ με f(1)=0

και

για την οποία ισχύει $f(xy)\leq xf(y)+yf(x)$ , για κάθε x,y>0

. Ν.δ.ο.

#2

Με

είναι:

Aν $x>x_0\Leftrightarrow h>1$ , τότε

$\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\dfrac{f(hx_0)-f(x_0)}{hx_0-x_0}$

$\Rightarrow \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq \dfrac{hf(x_0)+x_0f(h)-f(x_0)}{(h-1)x_0}=\dfrac{f(h)-f(1)}{h-1}+\dfrac{f(x_0)}{x_0}$

Από ιδιότητες ορίων και ορισμό παράγωγου παίρνουμε $f'(x_0)\leq f'(1)+\dfrac{f(x_0)}{x_0}$

Aν $x<x_0\Leftrightarrow h<1$ , τότε εργαζόμαστε ανάλογα και παίρνουμε $f'(x_0)\geq f'(1)+\dfrac{f(x_0)}{x_0}$

Άρα $f'(x_0)= f'(1)+\dfrac{f(x_0)}{x_0}$

Προκύπτει επομένως η διαφορική $f'(x)=f'(1)+\dfrac{f(x)}{x}$ , η οποία κατά τα γνωστά δίνει f(x)=xlnx

, και επαληθεύουμε.

#3

smarpant έγραψε:f παραγωγίσιμη $f:(0,+\infty) \to R$ με και για την οποία ισχύει $f(xy)\leq xf(y)+yf(x)$ , για κάθε . Ν.δ.ο.

Μια λίγο πιο εξτρεμιστική λύση μετά την διδακτικότατη αντικατάσταση από τον Κώστα.
Επιλέγω ένα θετικό

.
Θεωρώ τη συνάρτηση που έχει τύπο $\displaystyle{g(y) = f(xy) - xf(y) - yf(x),y > 0}$
Προφανώς η

είναι παραγωγίσιμη με g'(y)=xf'(xy)-xf'(y)-f(x)

και επιπλέον παρατηρώ ότι:

$\displaystyle{g(y) = f(xy) - xf(y) - yf(x) \le 0 = g(1),\forall y > 0}$

Εφ'όσον ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θ.Fermat θα έχουμε πως $\displaystyle{g'(1) = 0 \Leftrightarrow xf(x) - xf'(1) - f(x) = 0,(1)}$

Η σχέση (1)

ικανοποιείται από ένα τυχαία επιλεγμένο x>0

επομένως ισχύει για κάθε x>0

.

Προκύπτει η διαφορική: $\displaystyle{g'(1) = 0 \Leftrightarrow xf'(x) - x - f(x) = 0,x > 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{{f(x)}}{x}} \right)' = \left( {\ln x} \right)'}$ η λύση της οποίας δίνει και το ζητούμενο αποτέλεσμα.

#4

chris_gatos έγραψε:
smarpant έγραψε:f παραγωγίσιμη $f:(0,+\infty) \to R$ με και για την οποία ισχύει $f(xy)\leq xf(y)+yf(x)$ , για κάθε . Ν.δ.ο.
Μια λίγο πιο εξτρεμιστική λύση μετά την διδακτικότατη αντικατάσταση από τον Κώστα.
Επιλέγω ένα θετικό .
Θεωρώ τη συνάρτηση που έχει τύπο $\displaystyle{g(y) = f(xy) - xf(y) - yf(x),y > 0}$
Προφανώς η είναι παραγωγίσιμη με και επιπλέον παρατηρώ ότι:

$\displaystyle{g(y) = f(xy) - xf(y) - yf(x) \le 0 = g(1),\forall y > 0}$

Εφ'όσον ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θ.Fermat θα έχουμε πως $\displaystyle{g'(1) = 0 \Leftrightarrow xf(x) - xf'(1) - f(x) = 0,(1)}$

Η σχέση ικανοποιείται από ένα τυχαία επιλεγμένο επομένως ισχύει για κάθε .

Προκύπτει η διαφορική: $\displaystyle{g'(1) = 0 \Leftrightarrow xf'(x) - x - f(x) = 0,x > 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{{f(x)}}{x}} \right)' = \left( {\ln x} \right)'}$ η λύση της οποίας δίνει και το ζητούμενο αποτέλεσμα.

Τέλειο!

Να βρεθεί η συνάρτηση

Να βρεθεί η συνάρτηση

Re: Να βρεθεί η συνάρτηση

Re: Να βρεθεί η συνάρτηση

Re: Να βρεθεί η συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση