μία ακόμα δική μου ανισότητα

Κώστας Παππέλης · #1

An

kai

na apodeixete oti

$\sum\frac {(a + ab)^2}{(b + ab)^2 + (1 - ab)^2}\geq a + b + c$

#2

Ωραία!

Θέτουμε $\displaystyle a=\frac{x}{y+z}$ και κυκλικά.

Η προς απόδειξη γράφεται $\displaystyle \sum \frac{x^2}{y^2+z^2}\geq \sum \frac{x}{y+z}$ που ισχύει διότι γράφεται

$\displaystyle (x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx) \sum \frac{xy(x-y)^2}{(y+z)(x+z)(x^2+z^2)(y^2+z^2)} \geq 0$

ή

η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\sum \frac{a^x}{b^x+c^x}, x>0$ είναι αύξουσα.

#3

socrates έγραψε:Ωραία!

Θέτουμε $\displaystyle a=\frac{x}{y+z}$ και κυκλικά.

Φοβερή λύση κι ακόμη καλύτερη η παραπάνω αντικατάσταση η οποία ικανοποιεί την αρχική συνθήκη ab+bc+ca+2abc=1

Ευχαριστούμε Θανάση!

Αλέξανδρος

#4

Θανάση για λίγες ώρες σε είχα προλάβει στο mathlinks

Σχεδόν ισοδύναμες οι λύσεις μας.
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=322948

Κώστας Παππέλης · #5

Εξαιρετικές απαντήσεις!

Η κατασκευή ουσιαστικά βασίστηκε σ αυτή την αντικατάσταση... Παρατηρήστε ότι υπάρχει και ένα άκομψο τριγωνομετρικό ισοδύναμο αυτής της ανισότητας

Το ωραίο με αυτή την αντικατάσταση είναι ότι υπάρχουν άπειρες τέτοιες τριάδες x,y,z.

lefteris mastoris · #6

Oταν αναφερεσαι σε τριγωνομετρια αναφερεσαι στον μετασχηματισμο $a= \frac{cosxcosz}{cosy}$ , $b= \frac{cosxcosy}{cosz}$ κλπ?????

δεν βλεπω κατι αλλο....

Κώστας Παππέλης · #7

nai...

μία ακόμα δική μου ανισότητα

μία ακόμα δική μου ανισότητα

Re: μία ακόμα δική μου ανισότητα

Re: μία ακόμα δική μου ανισότητα

Re: μία ακόμα δική μου ανισότητα

Re: μία ακόμα δική μου ανισότητα

Re: μία ακόμα δική μου ανισότητα

Re: μία ακόμα δική μου ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση