Κέρασμα-3-

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3689
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Κέρασμα-3-

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή »

Αν a,b,c>0 και a+b+c=1 να δείξετε ότι a^2+b^2+c^2+2\sqrt{3abc}\leq 1

Πότε ισχύει το ''='' ;
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος Φωτεινή την Τρί Μάιος 17, 2016 6:19 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Αφαίρεση εικόνας,εκφώνηση σε LaTeX
Φωτεινή Καλδή
Κορυφή
lefteris mastoris
Δημοσιεύσεις: 86
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 23, 2009 5:12 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη,Πολιχνη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία lefteris mastoris

Re: Κέρασμα-3-

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefteris mastoris »

Σαν μια βοηθεια....Για γραψτε την καπως ετσι.... ;) a^2+b^2+c^2 +2 \sqrt{3abc} \leq (a+b+c)^2
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1862
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Ορέστης Λιγνός

Re: Κέρασμα-3-

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός »

Επαναφορά !
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Κορυφή
raf616
Δημοσιεύσεις: 680
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 17, 2013 4:35 pm
Τοποθεσία: Μυτιλήνη

Re: Κέρασμα-3-

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από raf616 »

Καλησπέρα!

Είναι (ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c) = 3abc \implies \sqrt{3abc} \leq ab+bc+ca

Άρα a^2 + b^2 + c^2 + 2\sqrt{3abc} \leq a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca) = (a+b+c)^2 = 1 και έτσι το ζητούμενο εδείχθη.

Η ισότητα πιάνεται όταν a=b=c = 1/3
Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας

Ψυρούκης Ραφαήλ
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1862
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Ορέστης Λιγνός

Re: Κέρασμα-3-

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός »

Πολύ ωραία Ραφαήλ!
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες