Ρουμάνικη ανισότητα

Soteris · #1

Έστω $\displaystyle{x, y, z}$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\dfrac{x^3}{z^3+x^2y}+\dfrac{y^3}{x^3+y^2z}+\dfrac{z^3}{y^3+z^2x}\geqslant\dfrac{3}{2}}$

#2

Soteris έγραψε:Έστω $\displaystyle{x, y, z}$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\dfrac{x^3}{z^3+x^2y}+\dfrac{y^3}{x^3+y^2z}+\dfrac{z^3}{y^3+z^2x}\geqslant\dfrac{3}{2}}$

Θα αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\dfrac{x^3}{3z^3+3x^2y}+\dfrac{y^3}{3x^3+3y^2z}+\dfrac{z^3}{3y^3+3z^2x}\geq \frac{1}{2}.}$

Λόγω της ΑΜ-ΓΜ αρκεί

$\displaystyle{\frac{x^3}{2x^3+y^3+3z^3}+\frac{y^3}{2y^3+z^3+3x^3}+\frac{z^3}{2z^3+x^3+3y^3}\geq \frac{1}{2}.}$

Θέτοντας $\displaystyle{x^3=a,y^3=b,z^3=c}$ έχουμε να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\frac{a}{2a+b+3c}+\frac{b}{2b+c+3a}+\frac{c}{2c+a+3b}\geq \frac{1}{2}.}$

Αυτό είναι άμεσο από Cauchy-Schwarz, αφού

$\displaystyle{\frac{a}{2a+b+3c}+\frac{b}{2b+c+3a}+\frac{c}{2c+a+3b}=\frac{a^2}{2a^2+ab+3ac}+\frac{b^2}{2b^2+bc+3ab}+\frac{c^2}{2c^2+ac+3bc}\geq }$

$\displaystyle{\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+4(ab+bc+ca)}=\frac{1}{2}.}$

Ρουμάνικη ανισότητα

Ρουμάνικη ανισότητα

Re: Ρουμάνικη ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση