Το μεγαλύτερο τετράπλευρο

KARKAR · #1

: Το μεγαλύτερο τετράπλευρο.png (8.32 KiB) Προβλήθηκε 786 φορές

Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ισοσκελές με AB=AC=5 , BC=6

. Από σημείο

της

, φέρω

$SP \perp BC$ και εν συνεχεία $PQ \perp AC$ . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου ASPQ

.

#2

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Το μεγαλύτερο τετράπλευρο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ισοσκελές με . Από σημείο της , φέρω

$SP \perp BC$ και εν συνεχεία $PQ \perp AC$ . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου .

Τραβηγμένο για Γ Γυμνασίου, εκτός κι αν υπάρχει ευκολότερος τρόπος.

: Το μεγαλύτερο τετράπλευρο.png (12.49 KiB) Προβλήθηκε 749 φορές

Έστω

το μέσο του

και

. Θα βρω αρχικά, για ποια τιμή του

το άθροισμα (SBP)+(PQC)

είναι ελάχιστο.

Με Πυθαγόρειο θεώρημα στο ABM

βρίσκω

, οπότε

.

Τα ορθογώνια τρίγωνα BSP, CQP, BAM

είναι όμοια:

$\displaystyle{\frac{x}{{BP}} = \frac{{AB}}{{BM}} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow BP = \frac{{3x}}{5} \Leftrightarrow PC = 6 - \frac{{3x}}{5} = \frac{{30 - 3x}}{5}}$

Ως γνωστόν, ο λόγος των εμβαδών ομοίων τριγώνων ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας:

$\displaystyle{\frac{{(BSP)}}{{(ABM)}} = {\left( {\frac{x}{5}} \right)^2},\frac{{(PQC)}}{{(ABM)}} = {\left( {\frac{{30 - 3x}}{{25}}} \right)^2},(ABM) = 6 \Rightarrow (BSP) + (PQC) = \frac{6}{{25}}\left( {{x^2} + \frac{{{{(30 - 3x)}^2}}}{{25}}} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(BSP) + (PQC) = \frac{6}{{625}}\left( {25{x^2} + 900 - 180x + 9{x^2}} \right) = \frac{{12}}{{625}}\left( {17{x^2} - 90x + 450} \right)}$

Αλλά το τριώνυμο 17x^2-90x+450

παρουσιάζει ελάχιστο για $\displaystyle{x = \frac{{90}}{{2 \cdot 17}} = \frac{{45}}{{17}}}$ και η ελάχιστη τιμή του είναι $\displaystyle{\frac{{4 \cdot 17 \cdot 450 - {{90}^2}}}{{4 \cdot 17}} = \frac{{5625}}{{17}}}$

Άρα $\displaystyle{{\left( {(BSP) + (PQC)} \right)_{\min }} = \frac{{108}}{{17}}}$ , οπότε $\displaystyle{{(ASPQ)_{\max }} = 12 - \frac{{108}}{{17}} = \frac{{96}}{{17}}}$

ealexiou · #3

: Το μεγαλύτερο τετράπλευρο.png (16.36 KiB) Προβλήθηκε 742 φορές

Είναι $\triangle BPS \sim \triangle BMA \sim \triangle CMA \sim \triangle CQP$ , οπότε αν BP=x

τότε:

$PS=\dfrac{4x}{3}, PC=6-x, QC=\dfrac{3(6-x)}{5}$ και $PQ=\dfrac{4(6-x)}{5}$

Το (ASPQ)

γίνεται μέγιστο όταν Το (BPS)+(PQC)

γίνει ελάχιστο, αφού $(ABC)=\dfrac{6\cdot4}{2}=12=st$ .

Όμως $(BPS)+(PQC)=\dfrac{4x^2}{6}+\dfrac{12(6-x)^2}{50}=\dfrac{4(17x-27)^2}{1275}+\dfrac{108}{17}\Rightarrow$

Το

γίνεται ελάχιστο για $17x=27\Rightarrow x=\dfrac{27}{17}$ και ισούται με $\dfrac{108}{17}$

και άρα $\boxed{(ASPQ)_{max}=12-\dfrac{108}{17}=\dfrac{96}{17}}$

Το μεγαλύτερο τετράπλευρο

Το μεγαλύτερο τετράπλευρο

Re: Το μεγαλύτερο τετράπλευρο

Re: Το μεγαλύτερο τετράπλευρο

Μέλη σε σύνδεση