Περίκυκλοι και Αρμονικότητες

sot arm · #1

Ένας κύκλος με κέντρο $\displaystyle O$ διέρχεται από τις κορυφές $\displaystyle A,C$ του τριγώνου $\displaystyle ABC$ , και τέμνει τις $\displaystyle BA,BC$ στα σημεία $\displaystyle K,N$ αντίστοιχα.Οι περίκυκλοι των τριγώνων $\displaystyle ABC,KNB$ τέμνονται στα σημεία
$\displaystyle B,M$ , να δειχθεί ότι η γωνία $\displaystyle \hat{OMB}$ είναι ορθή.

#2

Θα αποδειχθεί το ζητούμενο, ως ενδιάμεσο αποτέλεσμα της απόδειξης με στοιχειώδη μέσα, του παρακάτω θεωρήματος που έρχεται από το παρελθόν.

ΘΕΩΡΗΜΑ. - Σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο, η ευθεία που συνδέει το περίκεντρο με το σημείο τομής των διαγωνίων του, είναι κάθετη στην ευθεία που συνδέει τα σημεία τομής των απέναντι πλευρών του .

Έστω ABCD

, δοσμένο τετράπλευρο εγγεγραμμένο στον κύκλο (O)

και έστω τα σημεία $E\equiv AD\cap BC$ και $F\equiv AB\cap CD$ και $M\equiv AC\cap BD$ .

Γράφουμε τους περίκυκλους έστω $(O_{1}),\ (O_{2})$ , των τριγώνων $\vartriangle ECD,\ \vartriangle FBC$ αντιστοίχως και έστω

, το δεύτερο εκτός του

κοινό σημείο τους.

Το

είναι γνωστό ως το Σημείο Miquel του ABCD

και από το ίδιο σημείο περνάνε επίσης οι περίκυκλοι των τριγώνων $\vartriangle EAB,\ \vartriangle FAD$ και αποδεικνύεται εύκολα ότι $N\in EF$ , επειδή το ABCD

είναι εγγράψιμο.

Πράγματι, από τα εγγράψιμα τετράπλευρα $BCFN,\ CDNE$ έχουμε $\angle CNE + \angle CNF = \angle CDE + \angle CBF = 180^{o}$ και άρα, τα σημεία $E,\ N,\ F$ , είναι συνευθειακά.

: Περίκυκλοι και Αρμονικότητες.; f=112_t=54470.PNG (41.62 KiB) Προβλήθηκε 1101 φορές

$\bullet$ Έστω

, το σημείο τομής των δια των σημείων $A,\ B$ , καθέτων ευθειών επί των $AD,\ BC$ αντιστοίχως και ας είναι

, το σημείο τομής των δια των σημείων $C,\ D$ , καθέτων ευθειών επί των $BC,\ AD$ , αντιστοίχως.

Έστω

το περίκεντρο του ABCD

και ας είναι $O',\ O''$ , οι προβολές του επί των $BC,\ AD$ , αντιστοίχως και από $\displaystyle \frac{BO'}{O'C} = 1 = \frac{AO''}{O''D}\Rightarrow$ $\boxed{O\in KL}\ \ \ ,(1)$ σύμφωνα με το Θεώρημα των Αναλόγων διαιρέσεων

αποδεικνύεται εύκολα με βάση το Θεώρημα Θαλή

.

Ομοίως, έστω $M',\ M''$ , οι προβολές του

, επίσης επί των $BC,\ AD$ , αντιστοίχως και από $\displaystyle \frac{BM'}{M'C} = \frac{AM''}{M''D}$ , λόγω των ομοίων τριγώνων $\vartriangle MBC,\ \vartriangle MAD$ με τις $MM',\ MM''$ ως ομόλογες ευθείες τους, προκύπτει επίσης με βάση το Θεώρημα των Αναλόγων διαιρέσεων , ότι $\boxed{M\in KL}\ \ \ ,(2)$ και μένει να αποδειχθεί ότι $KL\equiv OM\perp EF$ .

$\bullet$ Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα $BCFN,\ ABCD$ έχουμε $\angle ENB = \angle BCF = \angle EAB\ \ \ ,(3)$ και άρα το τετράπλευρο ENAB

είναι εγγράψιμο και επομένως το σημείο

ανήκει στον περίκυκλο του τριγώνου $\vartriangle EAB$ , με διάμετρο προφανώς το τμήμα

, λόγω $KA\perp AE$ και $KB\perp BE$ .

Ισχύει τώρα, $EN\perp NK$ και αρκεί να αποδειχθεί ότι $NK\equiv KL\ \ \ ,(4)$

Η (4)

όμως αληθεύει, γιατί η ευθεία

περνάει από το αντιδιαμετρικό σημείο του

στον κύκλο $(O_{1})$ , το οποίο ταυτίζεται προφανώς με το σημείο

, από $LC\perp CE$ και $LD\perp DE$ .

Συμπεραίνεται έτσι, ότι $OM\equiv KL\equiv NL\perp EF$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Τα παραπάνω είναι μετάφραση της απόδειξης που έχει δημοσιευτεί Εδώ .

Apostolos Manoloudis · #3

Ισχύει ότι $M\hat{N} C = 180 - M\hat{N} B = 180 - M\hat{K} B = M \hat{K} A$ .

Αλλά $M \hat{C} B = M \hat{A} B = M \hat{A} K = M \hat{C} N$ .

Τότε τα τρίγωνα MNC

και

είναι όμοια. Δηλαδή ισχύει ότι $N \hat{M} C = K \hat{M} A = b$ .

Επιπλέον είναι $B \hat{M} N = B \hat{K} N = N \hat{C} A = B \hat{C} A = L \hat{M} B = a$ .

Οπότε η

είναι εξωτερική διχοτόμος της $A \hat{M} N$ .

Όμως ισχύει ότι: $K \hat{O} C = 2 K \hat{A} C = 2 B \hat{A} C = 2 B \hat{M} C = 2a + 2b$ ,

άρα $K \hat{M} C + K \hat{O} C = K \hat{M} C + 2a + 2b = 180$ ,

οπότε το MKOC

είναι εγγγράψιμο και ισχύει $C \hat{M} O = O \hat{M} C$ άρα και KO = OC

.

Συνεπώς η

είναι εσωτερική διχοτόμος της $A \hat{M} N$ και επομένως η

είναι κάθετη στην

.

Περίκυκλοι και Αρμονικότητες

Περίκυκλοι και Αρμονικότητες

Re: Περίκυκλοι και Αρμονικότητες

Re: Περίκυκλοι και Αρμονικότητες

Μέλη σε σύνδεση