7η ΕMO 1990-1991 (Α' Λυκείου)

parmenides51 · #1

1. Έστω $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ δυο θετικοί πραγματικοί αριθμοί ώστε $\displaystyle{\alpha +\beta<2\alpha \beta}$ . Ν' αποδειχτεί ότι $\displaystyle{\alpha +\beta>2}$ .

2. Έστω $\displaystyle{\widehat{xOy}}$ οξεία γωνία, $\displaystyle{ A}$ ένα σημείο επί της ημιευθείας $\displaystyle{Oy}$ και $\displaystyle{ B}$ το σημείο επί της ημιευθείας $\displaystyle{Ox}$ έτσι ώστε η $\displaystyle{ AB}$ να είναι κάθετος στην $\displaystyle{Ox}$ .
Ν' αποδειχτεί ότι υπάρχουν δύο σημεία επί της $\displaystyle{Oy}$ το καθένα από τα οποία ισαπέχει από το $\displaystyle{A}$ και την $\displaystyle{Ox}$ .

3. Να βρεθούν όλοι οι διψήφιοι αριθμοί $\displaystyle{\nu}$ που έχουν την ιδιότητα: ''Ο $\displaystyle{\nu^2}$ είναι τετραψήφιος αριθμός της μορφής $\displaystyle{\overline{xxyy}}$ ''.

4. Κατά πόσους τρόπους μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο με διαστάσεις $\displaystyle{3\, x\, 3}$ χρησιμοποιώντας $\displaystyle{3}$ άσπρα, $\displaystyle{3}$ πράσινα και $\displaystyle{3}$ κόκκινα τετράγωνα με διαστάσεις $\displaystyle{1\, x\, 1}$ έτσι ώστε σε κάθε οριζόντια και κάθε κάθετη γραμμή τα τετράγωνα να έχουν διαφορετικά χρώματα.

Σημείωση: Το 4ο θέμα με διαστάσεις $\displaystyle{4\, x\, 4}$ έπεσε στα θέματα της Γ' Λυκείου (εδώ)

#2

parmenides51 έγραψε:3. Να βρεθούν όλοι οι διψήφιοι αριθμοί $\displaystyle{\nu}$ που έχουν την ιδιότητα: ''Ο $\displaystyle{\nu^2}$ είναι τετραψήφιος αριθμός της μορφής $\displaystyle{\overline{xxyy}}$ ''.

viewtopic.php?p=147012#p147012

styt_geia · #3

parmenides51 έγραψε:1. Έστω $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ δυο θετικοί πραγματικοί αριθμοί ώστε $\displaystyle{\alpha +\beta<2\alpha \beta}$ . Ν' αποδειχτεί ότι $\displaystyle{\alpha +\beta>2}$ .

Λόγω της ανισότητας $\alpha \beta \leq \frac{(\alpha+\beta)^2}{4}$ και της δοθείσας ανισότητας έχουμε

$\displaystyle \alpha+\beta<2 \alpha \beta \leq \frac{(\alpha+\beta)^2}{2} \Rightarrow (\alpha+\beta)(\alpha+\beta-2)>0 \stackrel{\alpha+\beta>0}{\Rightarrow}\alpha+\beta>2$

KARKAR · #4

2 . Τα σημεία S,T

είναι τα ζητούμενα , όπως εύκολα διακρίνεται στο σχήμα ...

: EMO A.png (10.26 KiB) Προβλήθηκε 1690 φορές

#5

parmenides51 έγραψε: 4. Κατά πόσους τρόπους μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο με διαστάσεις $\displaystyle{3\, x\, 3}$ χρησιμοποιώντας $\displaystyle{3}$ άσπρα, $\displaystyle{3}$ πράσινα και $\displaystyle{3}$ κόκκινα τετράγωνα με διαστάσεις $\displaystyle{1\, x\, 1}$ έτσι ώστε σε κάθε οριζόντια και κάθε κάθετη γραμμή τα τετράγωνα να έχουν διαφορετικά χρώματα.

Σημείωση: Το 4ο θέμα με διαστάσεις $\displaystyle{4\, x\, 4}$ έπεσε στα θέματα της Γ' Λυκείου (εδώ)

Δουλεύουμε με παρόμοιο τρόπο όπως και στο άλλο θέμα:

Υπάρχουν

τρόποι να συμπληρωθεί η πρώτη γραμμή. Αντί άσπρα, κόκκινα, πράσινα τετράγωνα δίνουμε νούμερα 1,2,3. Η επιλογή είναι αυθαίρετη οπότε μπορώ να υποθέσω ότι η πρώτη γραμμή είναι συμπληρωμένη ως
$\displaystyle{\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ \ast & \ast & \ast \\ \ast & \ast & \ast \end{matrix}}$
Υπάρχουν τώρα δυο διαφορετικοί τρόποι για την συμπλήρωση της πρώτης στήλης. Είτε θα είναι
$\displaystyle{\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & \ast & \ast \\ 3 & \ast & \ast \end{matrix}}$
είτε
$\displaystyle{\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & \ast & \ast \\ 2 & \ast & \ast \end{matrix}}$
Στην πρώτη περίπτωση, το στοιχείο στην δεύτερη γραμμή και τρίτη στήλη πρέπει απαραίτητα να είναι 1. (Αν ήταν 2 θα είχαμε δύο 2 στην δεύτερη γραμμή ενώ αν ήταν 3 θα είχαμε δύο 3 στην τρίτη στήλη.) Ομοίως και το στοιχείο στην τρίτη γραμμή και δεύτερη στήλη πρέπει απαραίτητα να είναι 1. Άρα πρέπει μέχρι στιγμής η συμπλήρωση να είναι της μορφής
$\displaystyle{\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & \ast & 1 \\ 3 & 1 & \ast \end{matrix}}$
Τώρα όμως καθορίζονται και τα άλλα δύο $\ast$ και έχουμε την μοναδική συμπλήρωση
$\displaystyle{\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}}$
Ομοίως και στην δεύτερη περίπτωση έχουμε μοναδικό τρόπο να συμπληρώσουμε το τετράγωνο. Άρα για κάθε συμπλήρωση της πρώτης γραμμής έχουμε δυο διαφορετικούς τρόπους να συμπληρώσουμε όλο το τετράγωνο. Αφού υπάρχουν τρεις τρόποι να συμπληρώσουμε την πρώτη γραμμή τελικά έχουμε $3 \cdot 2 = 6$ διαφορετικούς τρόπους για να κατασκευάσουμε το τετράγωνο.

Ορέστης Λιγνός · #6

parmenides51 έγραψε:1. Έστω $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ δυο θετικοί πραγματικοί αριθμοί ώστε $\displaystyle{\alpha +\beta<2\alpha \beta}$ . Ν' αποδειχτεί ότι $\displaystyle{\alpha +\beta>2}$ .

Δίνω μία άλλη λύση, από αυτή του styt_geia
Από AM-GM λαμβάνουμε ότι $\displaystyle 2ab>a+b \geq 2\sqrt{ab} \Leftrightarrow ab>1$ .
Πάλι από AM-GM, $\displaystyle a+b \geq 2\sqrt{ab} > 2 \Leftrightarrow a+b>2$ , το ζητούμενο.

Christos.N · #7

parmenides51 έγραψε:1. Έστω $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ δυο θετικοί πραγματικοί αριθμοί ώστε $\displaystyle{\alpha +\beta<2\alpha \beta}$ . Ν' αποδειχτεί ότι $\displaystyle{\alpha +\beta>2}$ .

έστω $\displaystyle{a + \beta < 2a\beta }$ και $\displaystyle{a + \beta \leqslant 2}$

τότε

$\displaystyle{\left. \begin{gathered} 0 < a + \beta < 2a\beta \hfill \\ 0 < a + \beta \leqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow {\left( {a + \beta } \right)^2} < 4a\beta \Rightarrow {\left( {a - \beta } \right)^2} < 0}$

άτοπο.

7η ΕMO 1990-1991 (Α' Λυκείου)

7η ΕMO 1990-1991 (Α' Λυκείου)

Re: 7η ΕMO 1990-1991 (Α' Λυκείου)

Re: 7η ΕMO 1990-1991 (Α' Λυκείου)

Re: 7η ΕMO 1990-1991 (Α' Λυκείου)

Re: 7η ΕMO 1990-1991 (Α' Λυκείου)

Re: 7η ΕMO 1990-1991 (Α' Λυκείου)

Re: 7η ΕMO 1990-1991 (Α' Λυκείου)

Μέλη σε σύνδεση