Εκθετικό σύστημα

Γιώργος Απόκης · #1

Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases}x^{x+y}=y^n \\ y^{x+y}=x^{2n}y^n \end{cases},n \in \mathbb N^{*}}$

(Άλγεβρα Β' - Μέχρι 20-6-2016)

jimperix · #2

Καλησπέρα
πείτε μου αν η λύση είναι σωστή

Για x,y>0

$\begin{Bmatrix} x^{x+y}=y^{n} & \left(1 \right)\\ y^{x+y}=x^{2n}y^{n}& \left(2 \right) \end{Bmatrix} \left(1 \right)\times \left(2 \right)\Rightarrow \left(xy \right)^{x+y}=\left(xy \right)^{2n}\Leftrightarrow x+y=2n \left(3 \right) \left(1 \right) \left(3 \right)\Rightarrow x^{2n}=y^{n}\Leftrightarrow x^{2}=y Τοτε x^{x+x^{2}}=x^{2n}\Leftrightarrow x+x^{2}=2n\Leftrightarrow x^{2}+x-2n=0$
$\Delta=1+8n>0$

$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{1+8n}}{2} Αρα (x,y)=\left(\frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2},\left(\frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2}\right)^{2} \right),\left(\frac{-1-\sqrt{1+8n}}{2},\left(\frac{-1-\sqrt{1+8n}}{2}\right)^{2} \right)$

#3

Αγαπητέ jimperix, εύχομαι να είναι καλορίζικο το πρώτο σου ποστ.

Θα σου πρότεινα α) να γράψεις το κείμενο σε latex όπως απαιτούν οι κανονισμοί μας, β) να μην το αναρτήσεις ως συνημμένο, πάλι λόγω κανονισμών μας, και γ) να βάλεις τόνους στις λέξεις, όπως απαιτούν τα σωστά ελληνικά.

Μετά από όλα αυτά, θα σου δείξω ένα λάθος στον συλλογισμό σου.

jimperix · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε:Αγαπητέ jimperix, εύχομαι να είναι καλορίζικο το πρώτο σου ποστ.

Θα σου πρότεινα α) να γράψεις το κείμενο σε latex όπως απαιτούν οι κανονισμοί μας, β) να μην το αναρτήσεις ως συνημμένο, πάλι λόγω κανονισμών μας, και γ) να βάλεις τόνους στις λέξεις, όπως απαιτούν τα σωστά ελληνικά.

Μετά από όλα αυτά, θα σου δείξω ένα λάθος στον συλλογισμό σου.

Στο παράθυρο του Equation Editor όταν πατάω Προεπισκόπηση δεν εμφανίζεται η παράσταση σε Latex. Κάνω κατι λάθος;

#5

jimperix έγραψε: Στο παράθυρο του Equation Editor όταν πατάω Προεπισκόπηση δεν εμφανίζεται η παράσταση σε Latex. Κάνω κατι λάθος;

Προφανώς δεν διάβασες τους κανονισμούς του φόρουμ.

Κάνε τουλάχιστον αρχή με τον τρόπο γραφής latex από το λινκ εδώ. Μετά διάβασε και τους υπόλοιπους κανονισμούς.

Kostas Tzimoulias · #6

jimperix έγραψε:Καλησπερα
πειτε μου αν η λυση ειναι σωστη

δε βλέπω γιατί x,y>0

. Τουλάχιστον ένα ζευγός λύσεων απ'ότι βλέπω αντικρούει τον αρχικό σου ισχυρισμό.

jimperix · #7

Kostas Tzimoulias έγραψε:
jimperix έγραψε:Καλησπερα
πειτε μου αν η λυση ειναι σωστη

δε βλέπω γιατί . Τουλάχιστον ένα ζευγός λύσεων απ'ότι βλέπω αντικρούει τον αρχικό σου ισχυρισμό.

Για να ορίζεται η συνάρτηση $f(x)= \alpha^{x}$ πρέπει α>0
Αν η λύση που βλέπεις είναι η (x,y)=(0,0) τα πρώτα μέλη δίνουν $0^{0}$ που δεν ορίζεται

#8

jimperix έγραψε: Για να ορίζεται η συνάρτηση $f(x)= \alpha^{x}$ πρέπει α>0
Αν η λύση που βλέπεις είναι η (x,y)=(0,0) τα πρώτα μέλη δίνουν $0^{0}$ που δεν ορίζεται

Αγαπητέ Jimperix, πρόσεξε ότι ο

ορίζεται στους φυσικούς. Οπότε ΔΕΝ είναι απαραίτητο οι x, y

να είναι θετικοί.

Π.χ. δες ότι μια λύση είναι το ζεύγος x = -1, y = 1

.

Ίσως αυτήν να έχει στο νου του ο Κώστας.

edit: Επίσης, συνιστώ (σε όλουε τους μαθητές) τη μελέτη των περιπτώσεων που περιγράφονται στην άσκηση (1) (Γ΄ Ομάδας), στη Λογαριθμική συνάρτηση Β΄ Λυκείου) ΕΔΩ.

Εκεί φαίνονται όλες οι περιπτώσεις της εξίσωσης της μορφής x^a=x^b

.

Π.χ. λύση είναι και το ζεύγος x = y =1

, για κάθε

, που δεν φαίνεται να προκύπτει από την παραπάνω επεξεργασία.

Γιώργο (Απόκη). Δώσε μια παράταση. Ίσως να θέλει κάποιος μαθητής να την ξαναδεί; Είναι όμορφη άσκηση.

Kostas Tzimoulias · #9

Με πρόλαβε ο κ.Ρίζος..δε το έγραψα και εγώ αναλυτικά..

Γιώργος Απόκης · #10

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Γιώργο (Απόκη). Δώσε μια παράταση. Ίσως να θέλει κάποιος μαθητής να την ξαναδεί; Είναι όμορφη άσκηση.

Ας αφήσουμε τρεις μέρες για τους μαθητές και μετά πάμε στη διαδικασία των... πέναλτι

Kostas Tzimoulias · #11

jimperix έγραψε:
Kostas Tzimoulias έγραψε:
jimperix έγραψε:Καλησπερα
πειτε μου αν η λυση ειναι σωστη

δε βλέπω γιατί . Τουλάχιστον ένα ζευγός λύσεων απ'ότι βλέπω αντικρούει τον αρχικό σου ισχυρισμό.
Για να ορίζεται η συνάρτηση $f(x)= \alpha^{x}$ πρέπει α>0
Αν η λύση που βλέπεις είναι η (x,y)=(0,0) τα πρώτα μέλη δίνουν $0^{0}$ που δεν ορίζεται

παρεπιμπντόντως δεν είχα στο μυαλό μου αυτή τη λύση καθώς δεν εχω κάτσει να λύσω την άσκηση...αλλά η δεύτερη λύση σου , το δεύτερο ζεύγος για να είμαι πιο συγκεκριμένος έχει ενα κλασματικό αριθμό που προφανώς είναι

.

#12

jimperix έγραψε: $\left(xy \right)^{x+y}=\left(xy \right)^{2n}\Leftrightarrow x+y=2n \left$

Για ξαναδές το αυτό.

Epimenides · #13

Αν λογαριθμιστούν και οι δυο εξισώσεις προκύπτει η λύση (χ,y)=(1,1) με την .. προϋπόθεση ότι πρέπει να εξαιρεθεί καθώς μηδενίζεται ο λογάριθμος στον παρονομαστή

#14

Epimenides έγραψε:Αν λογαριθμιστούν και οι δυο εξισώσεις προκύπτει η λύση (χ,y)=(1,1) με την .. προϋπόθεση ότι πρέπει να εξαιρεθεί καθώς μηδενίζεται ο λογάριθμος στον παρονομαστή

Φοβάμαι ότι δεν κατανοώ το σκεπτικό του Epimenides.

Για να "λογαριθμίσουμε" τα μέλης μιας εξίσωσης, πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι είναι θετικοί αριθμοί.

Κατόπιν, το πώς προκύπτει η λύση (x, y) = (1,1)

πρέπει να γραφτεί αναλυτικά, δίχως να ξεχνάμε και πάλι τους περιορισμούς στην εφαρμογή των ιδιοτήτων.

Τέλος, η λύση ΔΕΝ απορρίπτεται. Δεν βλέπω παρονομαστή, εξάλλου μια απλή επαλήθευση επιβεβαιώνει ότι είναι δεκτή λύση.

Μάλλον κάτι άλλο εννοείται, που δεν το κατανοώ...

Epimenides · #15

$(x+y) \ln x = n \ln y \Leftrightarrow \frac{x+y}{n} =\frac{\ln y}{\ln x}$

$(x+y) \lny =n \ln (x^2 y) \Leftrightarrow \frac{x+y}{n} =\frac{x^2 y}{\ln y}$

Στο σημείο αυτό $\ln x \neq 0 \wedge \ln y \neq 0 \Leftrightarrow x,y \neq 1$

Με κατάλληλες πράξεις οδηγούμαστε σε επίλυση τριωνύμου κλπ κλπ
Από την πλευρά που το προσέγγισα, ο φυσικός αριθμός n λογικά πρέπει να απαλειφθεί καθώς το σύστημα εχει ως αγνώστους τους x,y

#16

Epimenides έγραψε:(x+y)*\lnx = n * \lny \frac{x+y}{n} =\frac{\ln y}{\ln x}
(x+y)\lny =n*\ln (x^2*y) \Rightarrow \frac{x+y}{n} =\frac{x^2*y}{\ln y}

Στο σημείο αυτό \ln x <> 0 και \ln y <> 0 \Leftrightarrow x,y <> 1

Με κατάλληλες πράξεις οδηγούμαστε σε επίλυση τριωνύμου κλπ κλπ
Από την πλευρά που το προσέγγισα, ο φυσικός αριθμός n λογικά πρέπει να απαλειφθεί καθώς το σύστημα εχει ως αγνώστους τους x,y

Αν κρίνω σωστά, η επεξεργασία σε Latex είναι η εξής:

$(x+y) \ln x = n \ln y \Leftrightarrow \frac{x+y}{n} =\frac{\ln y}{\ln x}$

$(x+y) \lny =n \ln (x^2 y) \Leftrightarrow \frac{x+y}{n} =\frac{x^2 y}{\ln y}$

Στο σημείο αυτό $\ln x \neq 0 \wedge \ln y \neq 0 \Leftrightarrow x,y \neq 1$

Ας επαναλάβω: Για να λογαριθμίσω και να χρησιμοποιήσω την σχετική ιδιότητα, εξασφαλίζω ότι x > 0, y > 0

.
Άρα, εξ αρχής, διακρίνω περιπτώσεις.

Το ίδιο για να μετατρέψω ισότητα ab = cd

σε πηλίκο με το "χιαστί γινόμενο", εξασφαλίζω ότι οι παρονομαστές, που εγώ εμφανίζω, είναι διάφοροι του μηδενός.
Οπότε, ελέγχω ξανά ΟΛΕΣ τις περιπτώσεις.
Διαφορετικά, ακολουθώντας αυτόν το δρόμο, δίχως να διακρίνω περιπτώσεις, περιορίζω αυθαίρετα το εύρος των λύσεων, με αποτέλεσμα κάποιες να χάνονται.

Αγαπητέ Επιμενίδη, δεν ξέρω ποιας τάξης μαθητής είσαι, αλλά, αφού γνωρίζεις πράξεις λογαρίθμων, θα πρέπει από την εμπειρία σου να έχει καταλάβει ότι οι διορθωτές των γραπτών αυτές "τις κατάλληλες πράξεις" περιμένουν να δουν αναλυτικά και σωστά, κι όχι απλά να περιγράφεις λεκτικά τα επόμενα βήματα ή τι φαίνεται "λογικό" να συμβεί.
Φαντάσου να πας σε ένα εστιατόριο, πεινασμένος, να παραγγείλεις κάτι και να βγει ο μάγειρας, να αρχίσει να σου περιγράφει τη συνταγή κλπ κλπ και κατόπιν να σου δώσει το λογαριασμό. Θα τον πληρώσεις;

Τέλος, το

δεν απαλείφεται. Οι λύσεις, θα δοθούν σε συνάρτηση με τις τιμές του

.
Κάποιες, βέβαια, θα είναι ανεξάρτητες του

(Π.χ. για κάθε

, είναι

).

Ελπίζω να βοήθησα.

Ελπίζω οι Γ.Σ. να μην διαγράψουν την ανάρτηση του Επιμενίδη και την απάντηση, αφού μετέτρεψα σε Latex το μαθηματικό κείμενο.

Epimenides · #17

Κύριε Ρίζο,
το κλπ κλπ αναφερόταν σε έλλειψη εξοικείωσης με το Latex. Θα σας αναρτήσω τη λύση μου μόλις βεβεαιωθώ ότι δεν θα υπάρξει ξανά πρόβλημα στους συντονιστές.
Σας ευχαριστώ για τη διόρθωση

Ορέστης Λιγνός · #18

Γιώργος Απόκης έγραψε:Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases}x^{x+y}=y^n \\ y^{x+y}=x^{2n}y^n \end{cases},n \in \mathbb N^{*}}$

(Άλγεβρα Β' - Μέχρι 20-6-2016)

Καλημέρα!

Το σύστημα είναι το $\displaystyle{\begin{cases}x^{x+y}=y^n (1) \\ y^{x+y}=x^{2n}y^n (2) \end{cases},n \in \mathbb N^{*}}$ .

Πολλαπλασιάζοντας τις (1), (2) έχουμε $(xy)^{x+y}=(xy)^{2n} \Leftrightarrow (xy)^{2n}((xy)^{x+y-2n}-1)=0$ , άρα έχουμε δύο περιπτώσεις :

A) $(xy)^{2n}=0$ ή B) $(xy)^{x+y-2n}=1$ .

Α) Αν $\boxed{(xy)^{2n}=0}$ ,

είναι $xy=0 \Leftrightarrow x=0$ ή y=0

.

Αν

, έχουμε $0^y=y^n \Leftrightarrow y=0$ , αδύνατο, αφού τότε $x^{x+y}=0^0$ , που δεν ορίζεται.

Αν y=0

, ομοίως έχουμε αδύνατο.

Άρα, στην περίπτωση αυτή δεν έχουμε λύσεις.

Ακόμη, συμπεραίνουμε από εδώ ότι $x,y \neq 0$ , και μπορούμε να συνεχίσουμε την λύση με αυτήν την συνθήκη.

B) Αν $\boxed{(xy)^{x+y-2n}=1}$ ,

διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις :

B_1)

Αν

, το σύστημα γράφεται $\displaystyle \begin{cases}x^{x+y}=y^n \\ y^{x+y}=x^n \cdot (xy)^n=x^n \end{cases}$ .

Διαιρώντας κατά μέλη (αφού $x,y \neq 0$ ) $\displaystyle (\frac{x}{y})^{x+y}=(\frac{y}{x})^n=\frac{1}{(\frac{x}{y})^n} \Leftrightarrow (\dfrac{x}{y})^{x+y+n}=1$ .

Άρα, έχουμε τρεις περιπτώσεις

$B_{1a})$ Αν $\dfrac{x}{y}=1 \Leftrightarrow x=y$ , και xy=1

, άρα

.

Παρατηρούμε ότι για x=y=-1

, πρέπει

άρτιος.

Άρα, λύσεις $\boxed{\boxed{(x,y)=(1,1) , (x,y)=(-1,-1) , n \textnormal{ \gr άρτιος}}}$

$B_{1b}$ ) Αν $x+y+n=0, \dfrac{x}{y} \neq 0$ , και $xy=1 \Leftrightarrow x(-x-n)=1 \Leftrightarrow x^2+nx+1=0$ , με διακρίνουσα D=n^2-4

.

Αν

, έχουμε εύκολα αδύνατο.

Άρα, $n \geq 2$ , και $D \geq 0$ , με λύσεις $x=- \dfrac{n+\sqrt{n^2-4}}{2}$ ή $χ=\dfrac{\sqrt{n^2-4}-n}{2}$ , και τελικά, από την σχέση x+y+n=0

, έχουμε τις λύσεις

$\displaystyle \boxed{\boxed{(x,y)=(\dfrac{\sqrt{n^2-4}-n}{2} , - \dfrac{\sqrt{n^2-4}+n}{2} , (x,y)=(- \dfrac{\sqrt{n^2-4}+n}{2},\dfrac{\sqrt{n^2-4}-n}{2} ) \textnormal{\gr με} n \in \mathbb N^{*} , n \geq 2}}$ .

$B_{1c}$ ) Αν $\dfrac{x}{y}=-1$ , $x+y-n \textnormal{\gr άρτιος}$ , δηλαδή x=-y

.

Όμως, $xy=1 \Leftrightarrow -x^2=1$ , αδύνατο.

B_2

) $x+y-2n=0, xy \neq 0$ .

Είναι λοιπόν $x^{2n}=y^n \Leftrightarrow (\dfrac{x^2}{y})^n=1$ .

Διακρίνουμε πάλι περιπτώσεις

$B_{2a}$ ) Αν $\dfrac{x^2}{y}=1 \Leftrightarrow y=x^2$ , και αφού x+y=2n

, έχουμε

, και από εδώ βρίσκουμε τις λύσεις

$\boxed{\boxed{(x,y)=(\dfrac{\sqrt{8n+1}-1}{2},\dfrac{4n-\sqrt{8n+1}+1}{2}) , (x,y)=(-\dfrac{\sqrt{8n+1}+1}{2}, \dfrac{4n+\sqrt{8n+1}+1}{2}), n \in \mathbb{ N^{*}}}}$

$B_{2b}$ ) Αν $n=0, \dfrac{x^2}{y} \neq 0$ , άτοπο, αφού $n \in \mathbb{N^{*}}$ .

$B_{2c}$ ) Αν $\dfrac{x^2}{y}=-1, n \textnormal{\gr άρτιος}$ , δηλαδή x^2=-y

, και αφού $x+y=2n \Leftrightarrow x-x^2=2n \Leftrightarrow x^2-x+2n=0$ , διακρίνουσα D=1-8n<0

, και άρα δεν έχουμε κάποια λύση.

B_3

) Αν $xy=-1, x+y-2n \textnormal{\gr άρτιος}$ , και εύκολα το σύστημα γράφεται

$\begin{cases} x^{x+y}=y^n \\ y^{x+y}=(xy)^n \cdot x^n=(-1)^n \cdot x^n \end{cases}$ , και εξετάζουμε δύο περιπτώσεις.

$B_{3a}$ ) Αν

άρτιος .

Τότε, το σύστημα γίνεται $\begin{cases} x^{x+y}=y^n \\ y^{x+y}=x^n \end{cases}$ .

Διαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε $(\dfrac{x}{y})^{x+y+n}=1$ , και έχουμε τρεις περιπτώσεις :

$B_{3a1}$ ) Αν $\frac{x}{y}=1 \Leftrightarrow x=y$ , αδύνατο, αφού xy=-1

.

$B_{3a2}$ ) Αν $x+y+n=0, \dfrac{x}{y} \neq 0$ .
Οπότε x+y=-n, xy=-1

,και επίσης x+y-2n=-3n

, είναι άρτιος, οπότε και

άρτιος και έχουμε λύσεις

$\boxed{\boxed{(x,y)=(\dfrac{\sqrt{n^2+4}-n}{2},-\dfrac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}),(x,y)= (-\dfrac{n+\sqrt{n^2+4}}{2},\dfrac{\sqrt{n^2+4}-n}{2}, n \textnormal{\gr άρτιος}}}$ .

$B_{3a3}$ ) Αν $\dfrac{x}{y}=-1, x+y+n \textnormal{\gr άρτιος}$ , δηλαδή x=-y

, και

άρτιος.

Οπότε $xy=-1 \Leftrightarrow -y^2=-1 \Leftrightarrow \boxed{\boxed{(x,y)=(-1,1), (x,y)=(1,-1) n \textnormal{\gr άρτιος}}}$ .

$B_{3b}$ ) Αν

περιττός.

Είναι τότε $\begin{cases} x^{x+y}=y^n \\ y^{x+y}=-x^n \end{cases}$ , και με διαίρεση κατά μέλη θα πάρουμε $(\dfrac{x}{y})^{x+y+n}=-1$ .

Άρα, $x=-y, x+y+n \textnormal{\gr περιττός}$ , και $xy=-1 \Leftrightarrow -y^2=-1 \Leftrightarrow (x,y)=(1.-1),(-1,1)$ , και x+y+n=n

περιττός.

Όμως, η (1,-1)

δεν επαληθεύει το σύστημα και απορρίπτεται.

Ελπίζω η λύση μου να είναι σωστή...

Γιώργος Απόκης · #19

Μπράβο Ορέστη!

#20

Αφού έλεγξε ο Γιώργος, είμαι βέβαιος ότι η λύση του Ορέστη είναι σωστή.

Έχω αποθηκεύσει από τα τέλη Ιουνίου μια ακόμα λύση στο σταθερό υπολογιστή. Μόλις έχω πρόσβαση θα την αναρτήσω.

Σαφώς και δεν την λές πανεύκολη την άσκηση, άξιζε όμως τον κόπο.

Ορέστη, να υποθέσω ότι η ηλικία στο προφιλ και η φωτογραφία δεν είναι εντελώς πρόσφατες;

Εκθετικό σύστημα

Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Re: Εκθετικό σύστημα

Μέλη σε σύνδεση