IMC 1994/1/5

#1

(α) Έστω συναρτήσεις $f \in C[0,b]$ και $g \in C(\mathbb{R})$ με την

να είναι περιοδική με περίοδο

. Να δειχθεί ότι το
$\displaystyle{ \int_0^b f(x)g(nx) \, \mathrm{d}x}$ έχει όριο όταν το

τείνει στο άπειρο και

$\displaystyle{\lim_{n \to \infty } \int_0^b f(x)g(nx) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{b} \int_0^b f(x) \, \mathrm{d}x \int_0^b g(x) \, \mathrm{d}x }$

(β) Να υπολογιστεί το

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \int_0^{\pi} \frac{\sin{x}}{1 + 3\cos^2{(nx)}} \, \mathrm{d}x }$

dement · #2

Demetres έγραψε:(α) Έστω συναρτήσεις $f \in C[0,b]$ και $g \in C(\mathbb{R})$ με την να είναι περιοδική με περίοδο . Να δειχθεί ότι το
$\displaystyle{ \int_0^b f(x)g(nx) \, \mathrm{d}x}$ έχει όριο όταν το τείνει στο άπειρο και

$\displaystyle{\lim_{n \to \infty } \int_0^b f(x)g(nx) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{b} \int_0^b f(x) \, \mathrm{d}x \int_0^b g(x) \, \mathrm{d}x }$

Έχουμε $\displaystyle \int_0^b f(x)g(nx) \, \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{kb}{n}}^{\frac{(k+1)b}{n}}f(x)g(nx) \, \mathrm{d}x =$

$\displaystyle = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \int_0^b f \left( \frac{x+kb}{n} \right) g(x+kb) \, \mathrm{d}x =$

$\displaystyle = \frac{1}{b} \int_0^b \left( \frac{b}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f \left( \frac{x+kb}{n} \right) \right) g(x) \mathrm{d}x$

Λόγω συνέχειας της

το άθροισμα Riemann στην παρένθεση τείνει στο $\int_0^b f(t) \mathrm{d}t$ . Επιπλέον, λόγω της ομοιόμορφης συνέχειας της

και της συνέχειας της

η σύγκλιση στο $g(x) \int_0^b f(t) \mathrm{d}t$ είναι ομοιόμορφη και έτσι επιτρέπεται η εναλλαγή ορίου-ολοκληρώματος.

Έτσι $\displaystyle{\lim_{n \to \infty } \int_0^b f(x)g(nx) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{b} \int_0^b f(x) \, \mathrm{d}x \int_0^b g(x) \, \mathrm{d}x$

(β) Να υπολογιστεί το

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \int_0^{\pi} \frac{\sin{x}}{1 + 3\cos^2{(nx)}} \, \mathrm{d}x }$

Με βάση τα παραπάνω, το όριο είναι

$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \sin x \mathrm{d}x \int_0^{\pi} \frac{1}{1 + 3 \cos^2 x} \mathrm{d}x = \frac{4}{\pi} \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x}{3 + \sec^2 x} \mathrm{d}x =$

$\displaystyle = \frac{4}{\pi} \int_0^{\infty} \frac{1}{4 + t^2} \mathrm{d}t = 1$

#3

Πολύ ωραία!

Το πρόβλημα θα ήταν πιο όμορφο αν άφηνε μόνο το (β). Για πρώτο διαγωνισμό όμως δικαιολογείται. Είναι καλό να έχουμε υπόψη το (α) σε περίπτωση που εμφανιστεί κάτι παρόμοιο του (β).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Το α) είναι γνωστό.
Βρίσκεται σαν θεώρημα η άσκηση στα περισσότερα βιβλία Αρμονικής Ανάλυσης.
Μάλιστα οι υποθέσεις για τις συναρτήσεις είναι πολύ ασθενέστερες.
Αποδίδεται στον Fejer.
Το θεώρημα Riemann-Lebesgue
(οι συντελεστές Fourier μιας Lebesgue ολοκληρώσιμης συνάρτησης τείνουν στο μηδέν)
είναι άμεσο πόρισμα του.

IMC 1994/1/5

IMC 1994/1/5

Re: IMC 1994/1/5

Re: IMC 1994/1/5

Re: IMC 1994/1/5

Μέλη σε σύνδεση