Είναι ισοσκελές; (ΓΕΩΜ. Α)

#1

: Είναι ισοσκελές;.png (8 KiB) Προβλήθηκε 1057 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

και

ένα σημείο του επιπέδου (όχι υποχρεωτικά στο εσωτερικό του τριγώνου), ώστε PB=PC

και

$\hat{BAP}=\hat{PAC}$ . Το ABC

είναι κατ' ανάγκη ισοσκελές; Αιτιολογήστε μέχρι αύριο 25/07/2016.

edit: Συμπλήρωσα την πρόταση μέσα στην παρένθεση.

Ορέστης Λιγνός · #2

george visvikis έγραψε:
Είναι ισοσκελές;.png
Δίνεται τρίγωνο και ένα σημείο του επιπέδου, ώστε και $\hat{BAP}=\hat{PAC}$ .

Το είναι κατ' ανάγκη ισοσκελές; Αιτιολογήστε μέχρι αύριο 25/07/2016.

Καλημέρα!

Λήψη ggb

Αν το

είναι στο εσωτερικό του ABC

έχουμε τα εξής

Φέρνουμε PK,PL

κάθετες στις AB,AC

.
Τα τρίγωνα KAP,PAL

είναι προφανώς ίσα, οπότε PK=PL,AK=AL

.

Έτσι, και τα KPB,PLC

είναι ίσα, οπότε KB=LC

.

Τελικά KB=LC, AK=AL

, και άρα

, και το

είναι ισοσκελές.

Αν το

είναι εκτός του ABC

, έχουμε ότι τα τρίγωνα PAB, PAC

είναι ίσα, και άρα AB=AC

.

#3

orestis26 έγραψε:
george visvikis έγραψε:Είναι ισοσκελές;.png
Δίνεται τρίγωνο και ένα σημείο του επιπέδου, ώστε και $\hat{BAP}=\hat{PAC}$ .

Το είναι κατ' ανάγκη ισοσκελές; Αιτιολογήστε μέχρι αύριο 25/07/2016.
Καλημέρα!

Λήψη ggb
Αν το είναι στο εσωτερικό του έχουμε τα εξής

Φέρνουμε κάθετες στις .
Τα τρίγωνα είναι προφανώς ίσα, οπότε .

Έτσι, και τα είναι ίσα, οπότε .

Τελικά , και άρα , και το είναι ισοσκελές.

Αν το είναι εκτός του , έχουμε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα, και άρα .

Πολύ ωραία Ορέστη και σε χρόνο

!!!

Ορέστης Λιγνός · #4

Στην περίπτωση που το

είναι εντός του ABC

, μπορούμε να εργαστούμε ως εξής :

Από νόμο ημιτόνων στα BAP,PAC

είναι

$\displaystyle \frac{BP}{\sin BAP}= \frac{AP}{\sin ABP} , \frac{PC}{\sin PAC}=\frac{AP}{\sin ACP}$ , και $\displaystyle \frac{BP}{\sin BAP}=\frac{PC}{\sin PAC}$ .

Οπότε $\displaystyle \frac{AP}{\sin ABP}=\frac{AP}{\sin ABP} \Leftrightarrow \sin ABP= \sin PCA \Leftrightarrow ABP=PCA$ , αφού ABP+PCA <180

.

Τέλος, PBC=PCB

, και άρα

, και το ζητούμενο έπεται.

#5

orestis26 έγραψε:
george visvikis έγραψε:Είναι ισοσκελές;.png
Δίνεται τρίγωνο και ένα σημείο του επιπέδου, ώστε και $\hat{BAP}=\hat{PAC}$ .

Το είναι κατ' ανάγκη ισοσκελές; Αιτιολογήστε μέχρι αύριο 25/07/2016.
Καλημέρα!

...Αν το είναι εκτός του , έχουμε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα, και άρα .

Γεια σου Ορέστη!

Εκ παραδρομής δεν διάβασα αυτή την τελευταία πρόταση και νόμιζα ότι η δημοσίευσή σου αναφερόταν μόνο για εσωτερικό σημείο.
Εδώ θα σε συμβούλευα να το επανεξετάσεις...

Ορέστης Λιγνός · #6

george visvikis έγραψε:
orestis26 έγραψε:
george visvikis έγραψε:Είναι ισοσκελές;.png
Δίνεται τρίγωνο και ένα σημείο του επιπέδου, ώστε και $\hat{BAP}=\hat{PAC}$ .

Το είναι κατ' ανάγκη ισοσκελές; Αιτιολογήστε μέχρι αύριο 25/07/2016.
Καλημέρα!

...Αν το είναι εκτός του , έχουμε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα, και άρα .

Γεια σου Ορέστη!

Εκ παραδρομής δεν διάβασα αυτή την τελευταία πρόταση και νόμιζα ότι η δημοσίευσή σου αναφερόταν μόνο για εσωτερικό σημείο.
Εδώ θα σε συμβούλευα να το επανεξετάσεις...

Με νόμο ημιτόνων στα BAP,PAC

, έχουμε, όπως και στο δεύτερο μου ποστ, ABP=ACP

, και τα τρίγωνα BAP, PAC

είναι ίσα, οπότε έχουν AB=AC

.

theano · #7

: AAAA.png (23.23 KiB) Προβλήθηκε 993 φορές

Γειά σας,

Δεν είναι πάντα ίσα όπως θα δικαιολογήσψ παρακάτω.

Από το

φέρνω κάθετες στις ημιευθείες AB,AC

οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα APK,APE

είναι ίσα όπως και τα ορθογώνια τρίγωνα BPE,CPK

, επομένως BE=CK

και

.

α) Αν το

έξω από το τρίγωνο ABC

τότε το τρίγωνο δεν είναι ισοσκελές αφαιρώντας τις προηγούμενες ισότητες.
β) Αν το

είναι μέσα στο τρίγωνο ABC

ή πάνω στην

τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές προσθέτοντας τις προηγούμενες ισότητες

#8

orestis26 έγραψε:
george visvikis έγραψε:
orestis26 έγραψε:
george visvikis έγραψε:Είναι ισοσκελές;.png
Δίνεται τρίγωνο και ένα σημείο του επιπέδου, ώστε και $\hat{BAP}=\hat{PAC}$ .

Το είναι κατ' ανάγκη ισοσκελές; Αιτιολογήστε μέχρι αύριο 25/07/2016.
Καλημέρα!

...Αν το είναι εκτός του , έχουμε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα, και άρα .

Γεια σου Ορέστη!

Εκ παραδρομής δεν διάβασα αυτή την τελευταία πρόταση και νόμιζα ότι η δημοσίευσή σου αναφερόταν μόνο για εσωτερικό σημείο.
Εδώ θα σε συμβούλευα να το επανεξετάσεις...
Με νόμο ημιτόνων στα , έχουμε, όπως και στο δεύτερο μου ποστ, , και τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε έχουν .

Για δες αυτό το σχήμα...

: Είναι ισοσκελές;b.png (14.14 KiB) Προβλήθηκε 988 φορές

#9

theano έγραψε:AAAA.png

Γειά σας,

Δεν είναι πάντα ίσα όπως θα δικαιολογήσψ παρακάτω.

Από το φέρνω κάθετες στις ημιευθείες οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όπως και τα ορθογώνια τρίγωνα , επομένως και .

α) Αν το έξω από το τρίγωνο τότε το τρίγωνο δεν είναι ισοσκελές αφαιρώντας τις προηγούμενες ισότητες.
β) Αν το είναι μέσα στο τρίγωνο ή πάνω στην τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές προσθέτοντας τις προηγούμενες ισότητες

Μπράβο

. Μιλάμε για το Θεώρημα του νότιου πόλου.

Νίκος

Ορέστης Λιγνός · #10

george visvikis έγραψε:
orestis26 έγραψε:
george visvikis έγραψε:
orestis26 έγραψε:
george visvikis έγραψε:Είναι ισοσκελές;.png
Δίνεται τρίγωνο και ένα σημείο του επιπέδου, ώστε και $\hat{BAP}=\hat{PAC}$ .

Το είναι κατ' ανάγκη ισοσκελές; Αιτιολογήστε μέχρι αύριο 25/07/2016.
Καλημέρα!

...Αν το είναι εκτός του , έχουμε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα, και άρα .

Γεια σου Ορέστη!

Εκ παραδρομής δεν διάβασα αυτή την τελευταία πρόταση και νόμιζα ότι η δημοσίευσή σου αναφερόταν μόνο για εσωτερικό σημείο.
Εδώ θα σε συμβούλευα να το επανεξετάσεις...
Με νόμο ημιτόνων στα , έχουμε, όπως και στο δεύτερο μου ποστ, , και τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε έχουν .
Για δες αυτό το σχήμα...
Είναι ισοσκελές;b.png

Σωστά! Σας ευχαριστώ πολύ για τις παρατηρήσεις σας!

Ορέστης.

theano · #11

Doloros έγραψε: Μιλάμε για το Θεώρημα του νότιου πόλου.

Νίκος

Τι λέει αυτό το θεώρημα κ. Νίκο;

#12

theano έγραψε:
Doloros έγραψε: Μιλάμε για το Θεώρημα του νότιου πόλου.

Νίκος
Τι λέει αυτό το θεώρημα κ. Νίκο;

Σε κάθε σκαληνό τρίγωνο ABC

η μεσοκάθετος μιας πλευράς ( π.χ. της

) και η διχοτόμος της απέναντι γωνίας( εδώ της

) τέμνονται, σε ένα σημείο, εκτός του τριγώνου και μάλιστα πάνω στον περιγεγραμμένο του κύκλο .

Νίκος

theano · #13

Doloros έγραψε:
theano έγραψε:
Doloros έγραψε: Μιλάμε για το Θεώρημα του νότιου πόλου.

Νίκος
Τι λέει αυτό το θεώρημα κ. Νίκο;

Σε κάθε σκαληνό τρίγωνο η μεσοκάθετος μιας πλευράς ( π.χ. της ) και η διχοτόμος της απέναντι γωνίας( εδώ της ) τέμνονται, σε ένα σημείο, εκτός του τριγώνου και μάλιστα πάνω στον περιγεγραμμένο του κύκλο .

Νίκος

Ευχαριστώ !

#14

Μία άλλη προσέγγιση χρησιμοποιώντας ένα κριτήριο, που πολλοί μαθητές δεν γνωρίζουν. Είναι το εξής:

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και και τις γωνίες που βρίσκονται απέναντι από το ένα ζεύγος ίσων πλευρών
ίσες, τότε και οι γωνίες που είναι απέναντι από το άλλο ζεύγος των ίσων πλευρών θα είναι ή ίσες ή παραπληρωματικές

● Αν το

είναι μέσα στο τρίγωνο ή πάνω στη

.

: Είναι ισοσκελές;.png (8.17 KiB) Προβλήθηκε 917 φορές

Εφαρμόζοντας το παραπάνω κριτήριο στα τρίγωνα APB, APC

έχουμε $\displaystyle{\omega = \theta=}}$ ή $\displaystyle{\omega + \theta = {180^0}}$ (άτοπο αφού $\displaystyle{\omega + \theta < {180^0}}$ ), άρα $\boxed{\omega = \theta}}$ και το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές.

● Αν το

είναι έξω από το τρίγωνο.

: Είναι ισοσκελές;b.png (15.16 KiB) Προβλήθηκε 917 φορές

Σε αυτή την περίπτωση, όπως δείχνει το σχήμα, είναι $\boxed{\omega + \theta = {180^0}}$ και τα τρίγωνα APB, APC

δεν είναι ίσα (με εξαίρεση την περίπτωση όπου $\omega=\theta=90^0$ ).

Είναι ισοσκελές; (ΓΕΩΜ. Α)

Είναι ισοσκελές; (ΓΕΩΜ. Α)

Re: Είναι ισοσκελές; (ΓΕΩΜ. Α)

Re: Είναι ισοσκελές; (ΓΕΩΜ. Α)

Re: Είναι ισοσκελές; (ΓΕΩΜ. Α)

Re: Είναι ισοσκελές; (ΓΕΩΜ. Α)

Re: Είναι ισοσκελές; (ΓΕΩΜ. Α)

Re: Είναι ισοσκελές; (ΓΕΩΜ. Α)

Re: Είναι ισοσκελές; (ΓΕΩΜ. Α)

Re: Είναι ισοσκελές; (ΓΕΩΜ. Α)

Re: Είναι ισοσκελές; (ΓΕΩΜ. Α)

Re: Είναι ισοσκελές; (ΓΕΩΜ. Α)

Re: Είναι ισοσκελές; (ΓΕΩΜ. Α)

Re: Είναι ισοσκελές; (ΓΕΩΜ. Α)

Re: Είναι ισοσκελές; (ΓΕΩΜ. Α)

Μέλη σε σύνδεση