Εκθετική εξίσωση!

Ορέστης Λιγνός · #1

Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η εξίσωση $\displaystyle 4^x - 3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}- 2^{2x-1}}$ .

(Μέχρι 27-7-2016 , Άλγεβρα Β)

jimperix · #2

Καλησπέρα
Η εξίσωση γράφεται

$4^{x}-\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3^{x}=\sqrt{3}\cdot 3^{x}-\frac{4^{x}}{2}$

$9\cdot 4^{x}=8\sqrt{3}\cdot 3^{x}$

$81\cdot 4^{2x}=192\cdot 3^{2x}$

$\left ( \frac{4}{3} \right )^{2x}=\left ( \frac{4}{3} \right )^{3}$

$x=\frac{3}{2}$

Γιώργος Απόκης · #3

Καλησπέρα. Η άσκηση υπάρχει και στο σχολικό βιβλίο. Είναι το ερώτημα v) από την

άσκηση $\displaystyle{2}$ της Β' Ομάδας, στη σελίδα $\displaystyle{171}$

#4

jimperix έγραψε:Καλησπέρα
Η εξίσωση γράφεται

$4^{x}-\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3^{x}=\sqrt{3}\cdot 3^{x}-\frac{4^{x}}{2}$

$9\cdot 4^{x}=8\sqrt{3}\cdot 3^{x}$

$81\cdot 4^{2x}=192\cdot 3^{2x}$

$\left ( \frac{4}{3} \right )^{2x}=\left ( \frac{4}{3} \right )^{3}$

$x=\frac{3}{2}$

Μπορεί να λυθεί χωρίς χρήση ριζικών. Έχει διδακτικό ενδιαφέρον.

Θα επανέλθω αν χρειαστεί .

Νίκος

Soteris · #5

orestis26 έγραψε:Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η εξίσωση $\displaystyle 4^x - 3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}- 2^{2x-1}}$ .

(Μέχρι 27-7-2016 , Άλγεβρα Β)

Καλησπέρα Ορέστη!!

Είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned}4^x - 3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}- 2^{2x-1}&\Rightarrow 2^{2x}-3^{x-\frac{1}{2}}=3\cdot3^{x-\frac{1}{2}}-2^{2x-1}\\ &\Rightarrow2\cdot2^{2x-1}-3^{x-\frac{1}{2}}=3\cdot3^{x-\frac{1}{2}}-2^{2x-1}\\ &\Rightarrow 3\cdot2^{2x-1}=4\cdot3^{x-\frac{1}{2}}\\ &\Rightarrow 2^{2x-3}=3^{x-\frac{3}{2}}\\ &\Rightarrow 4^{x-\frac{3}{2}}=3^{x-\frac{3}{2}}\\ &\Rightarrow \boxed{x=\dfrac{3}{2}} \end{aligned}}$

#6

orestis26 έγραψε:Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η εξίσωση $\displaystyle 4^x - 3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}- 2^{2x-1}}$ .

(Μέχρι 27-7-2016 , Άλγεβρα Β)

Μια άποψη ακόμη.

Η εξίσωση γράφεται : ${2^{2x}} - {3^{x - \dfrac{1}{2}}} = {3^{x + \dfrac{1}{2}}} - {2^{2x - 1}}$ . Θέτουμε $\boxed{x - \dfrac{1}{2} = y}\,\,\,\,(M)$ και έχουμε:

$\displaystyle{\left\{ \begin{gathered} 2x - 1 = 2y \hfill \\ 2x = 2y + 1 \hfill \\ x + \dfrac{1}{2} = y + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.}$ έτσι η εξίσωση γίνεται : ${2^{2y + 1}} - {3^y} = {3^{y + 1}} - {2^{2y}}$

Άρα $2 \cdot {2^{2y}} + {2^{2y}} = {3^y} + 3 \cdot {3^y} \Leftrightarrow 3 \cdot {4^y} = 4 \cdot {3^y} \Leftrightarrow y = 1$ και λόγω του μετασχηματισμού (M)

$\boxed{x = \dfrac{3}{2}}$ .

Φιλικά Νίκος

Εκθετική εξίσωση!

Εκθετική εξίσωση!

Re: Εκθετική εξίσωση!

Re: Εκθετική εξίσωση!

Re: Εκθετική εξίσωση!

Re: Εκθετική εξίσωση!

Re: Εκθετική εξίσωση!

Μέλη σε σύνδεση