IMC 2016/1/3

Συντονιστής: Demetres

Απάντηση

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

Demetres: Γενικός Συντονιστής; Δημοσιεύσεις: 9010; Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm; Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα; Επικοινωνία:
Επικοινωνία Demetres

Ιστοσελίδα

IMC 2016/1/3

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 28, 2016 10:31 am

Έστω θετικός ακέραιος

και έστω πραγματικοί $a_1,\ldots,a_n$ και $b_1,\ldots,b_n$ με a_i + b_i > 0

για $1 \leqslant i \leqslant n$ . Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \frac{a_ib_i - b_i^2}{a_i+b_i} \leqslant \frac{\sum_{i=1}^n a_i \sum_{i=1}^n b_i - \left( \sum_{i=1}^n b_i\right)^2}{\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)}}$

Ετικέτες:

Cauchy-Schwarz

imc

ανισότητα

dement: Διευθύνον Μέλος; Δημοσιεύσεις: 1419; Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMC 2016/1/3

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Ιούλ 28, 2016 12:31 pm

Ισχύει $\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{a_i b_i - b_i^2}{a_i + b_i} = \sum_{i=1}^n \left( b_i - \frac{2 b_i^2}{a_i + b_i} \right) \leq \sum_{i=1}^n b_i - \frac{2 \left( \sum_{i=1}^n b_i \right)^2}{\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)}$ (από Cauchy-Schwarz)

$\displaystyle = \frac{(\sum_{i=1}^n a_i) (\sum_{i=1}^n b_i) - (\sum_{i=1}^n b_i)^2}{\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)}$

Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.

Απάντηση

2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή στο “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης