IMC 2016/2/1

#1

Έστω ακολουθία θετικών πραγματικών $x_1,x_2,\ldots$ η οποία ικανοποιεί την συνθήκη $\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{2n-1} = 1.}$

Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}} \sum_{n=1}^k \frac{x_n}{k^2} \leqslant 2.}$

Επεξεργασία: Διορθώθηκε η εκφώνηση. Δείτε την επόμενη ανάρτηση.

#2

Είναι ευκολάκι. Μάλλον δεν απαντήθηκε διότι αμέλησα να γράψω πως τα x_i

είναι θετικά. Απολογούμαι για την όποια ταλαιπωρία.

dement · #3

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \int_{k-1/2}^{k+1/2} \frac{1}{t^2} dt = \frac{1}{k^2 - 1/4} > \frac{1}{k^2}$ από όπου $\displaystyle \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^2} < \int_{n-1/2}^{\infty} \frac{1}{t^2} dt = \frac{2}{2n-1}$ .

Έτσι έχουμε

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^k \frac{x_n}{k^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^2} \right) x_n < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 x_n}{2n-1} = 2$ .

IMC 2016/2/1

IMC 2016/2/1

Re: IMC 2016/2/1

Re: IMC 2016/2/1

Μέλη σε σύνδεση