Ακέραιες Ρίζες Πολυωνύμου

chris · #1

Με αφορμή αυτό!

Να εξεταστεί αν υπάρχει τιμή του $d \in \mathbb{Z}$ τέτοια ώστε το πολυώνυμο:
P_d(x)=x^3-87x^2+181x+d

να έχει τρεις ακέραιες ρίζες.

Ορέστης Λιγνός · #2

chris έγραψε:Με αφορμή αυτό!

Να εξεταστεί αν υπάρχει τιμή του $d \in \mathbb{Z}$ τέτοια ώστε το πολυώνυμο:
να έχει τρεις ακέραιες ρίζες.

Καλησπέρα!

Έστω $x_1,x_2,x_3 \in \mathbb{Z}$ οι ρίζες του P(x)

.

Από Vieta είναι x_1+x_2+x_3=87, x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3 =181 , x_1x_2x_3=-d

.

Από τις δύο πρώτες είναι $x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1 x_2+x_2 x_3+x_1 x_3) =(87)^2-2 \cdot 181=7207=8 \cdot 900 + 7$ ,

και σύμφωνα με το παραπάνω λινκ, δεν υπάρχουν τέτοιοι x_1,x_2,x_3

.
Άρα, η απάντηση στο πρόβλημα είναι αρνητική .

edit: Διόρθωση, μετά από επισήμανση του κύριου Παπαδόπουλου Σταύρο, που τον ευχαριστώ πολύ.

#3

Ας δούμε και την εξής λύση:

Αφού $x_1+x_2+x_3 = 87 \equiv 0 \bmod 3$ τότε είτε όλα τα x_i

είναι ισότιμα $\bmod 3$ είτε όλα είναι διαφορετικά. (Πράγματι αν δύο είναι ίσα με $k \bmod 3$ τότε η συνθήκη $x_1+x_2+x_3 \equiv 0 \bmod 3$ επιβάλλει και το τρίτο να είναι ίσο με $k \bmod 3$ .)

Στην πρώτη περίπτωση (δηλαδή όταν είναι όλα ισότιμα $\bmod 3$ ) το x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1

είναι ισότιμο με $0 \bmod 3$ . Στην δεύτερη περίπτωση το x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1

είναι ισότιμο με $2 \bmod 3$ .

Και στις δύο περιπτώσεις όμως έχουμε άτοπο αφού $x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 \equiv 1 \bmod 3$ .

Ορέστης Λιγνός · #4

Demetres έγραψε:Ας δούμε και την εξής λύση:

Αφού $x_1+x_2+x_3 = 87 \equiv 0 \bmod 3$ τότε είτε όλα τα είναι ισότιμα $\bmod 3$ είτε όλα είναι διαφορετικά. (Πράγματι αν δύο είναι ίσα με $k \bmod 3$ τότε η συνθήκη $x_1+x_2+x_3 \equiv 0 \bmod 3$ επιβάλλει και το τρίτο να είναι ίσο με $k \bmod 3$ .)

Στην πρώτη περίπτωση (δηλαδή όταν είναι όλα ισότιμα $\bmod 3$ ) το είναι ισότιμο με $0 \bmod 3$ . Στην δεύτερη περίπτωση το είναι ισότιμο με $2 \bmod 3$ .

Και στις δύο περιπτώσεις όμως έχουμε άτοπο αφού $x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 \equiv 1 \bmod 3$ .

Καλημέρα κύριε Δημήτρη.

Πολύ ωραία λύση !

Ακέραιες Ρίζες Πολυωνύμου

Ακέραιες Ρίζες Πολυωνύμου

Re: Ακέραιες Ρίζες Πολυωνύμου

Re: Ακέραιες Ρίζες Πολυωνύμου

Re: Ακέραιες Ρίζες Πολυωνύμου

Μέλη σε σύνδεση