Μιγαδικοί : Λύνεις μία- Κάνεις πολλές !

#1

Έστω ότι οι μιγαδικοί a,b,c

έχουν εικόνες τις κορυφές τριγώνου ABC

.Να αποδειχθεί ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες :

α) $\bar {a} b=\bar {b}c =\bar {c}a$

β) a^2=bc, b^2=ca

γ) To τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο.

Μπάμπης

dennys · #2

απο την σχέση 1) έχουμε αν μετράρουμε $|a||\bar {b}|=|\bar {b}||c|\Rightarrow |a|=|c|,(1)$

επειδή οι εικ'όνες σχηματ'ιζουν τρίγωνο είναι διάφορες μεταξύ τους και όχι μηδενικοί (απλό).

Ομοια $\displaystyle |b|=|a| (2)$ και απο τις (1),(2) έχουν οι μιγαδικοί ίσα μέτρα. $\displaystyle |a|=|b|=|c|=r\Rightarrow \bar {a}=r^{2}/a$

και όμοια τα άλλα .
|
με αντικατάσταση στην α) προ\κύπτει η β) πολύ εύκολα .

ξεκινώντας απο την $|a-b|=|b-c|\Rightarrow ..... 0=0$ και 'ομοια |b-c|=|c-a|

αρα το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των a,b,c

είναι ισόπλευρο.

#3

Χρειαζόμαστε και τη συνθήκη $\displaystyle{|a|=|b|=|c|,}$ αλλιώς δεν ισχύει η $\displaystyle{\gamma \implies \alpha...}$

Όμως, το βασικό σημείο, κατά τη γνώμη μου, είναι το πότε 3 προτάσεις είναι ισοδύναμες...

#4

Θανάση, είμαι με την εντύπωση ότι ισοδύναμες προτάσεις σημαίνει ότι αν ισχύει η μία, τότε ισχύουν όλες. Έχεις εντοπίσει κάποιο πρόβλημα

για να το δούμε πιο πολλοί ; Σε ένα ξενόγλωσσο βιβλίο την είδα, αλλά επειδή όλα τα ερωτήματα μου φάνηκαν γνωστά, δεν κοίταξα τις λεπτομέρειες.

Με μια πρώτη ματιά βλέπω όμως μόνο τα εξής :

α)--->γ , β)--->γ, α)<--->β

Λείπει μια σχέση. Πρέπει να την ξαναδώ αναλυτικά κάποια στιγμούλα.
Μπ.

#5

Όπως επισήμανε και ο Θανάσης παραπάνω, υπάρχει πρόβλημα με την άσκηση. Οι ισχυρισμοί δεν είναι ισοδύναμοι.

π.χ. αν $\displaystyle{C(0,0),A(\sqrt{3},1),B(\sqrt{3},-1)}$ το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, αλλά δεν ισχύουν τα α), β).

Πάντως για να δείξουμε ότι τρεις προτάσεις α), β), γ) είναι ισοδύναμες, είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\alpha \implies \beta \implies \gamma \implies \alpha .}$

#6

Αν το γ) το κάνουμε :

γ) Το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο και |a|=|b|=|c|

όπως προτείνει και ο Θανάσης , τι λέτε, το σώζουμε ; Νομίζω πως θα είναι εντάξει, μια και πολύ πρόσφατα κάπου έβαλα ένα ερώτημα στους μιγαδικούς με την τελευταία συνεπαγωγή(γ--->α).

#7

Επαναφορά, για να θυμηθούμε τους μιγαδικούς!

Μιγαδικοί : Λύνεις μία- Κάνεις πολλές !

Μιγαδικοί : Λύνεις μία- Κάνεις πολλές !

Re: Μιγαδικοί : Λύνεις μία- Κάνεις πολλές !

Re: Μιγαδικοί : Λύνεις μία- Κάνεις πολλές !

Re: Μιγαδικοί : Λύνεις μία- Κάνεις πολλές !

Re: Μιγαδικοί : Λύνεις μία- Κάνεις πολλές !

Re: Μιγαδικοί : Λύνεις μία- Κάνεις πολλές !

Re: Μιγαδικοί : Λύνεις μία- Κάνεις πολλές !

Μέλη σε σύνδεση