Αναζήτηση σημείου

KARKAR · #1

: Αναζήτηση σημείου.png (13.76 KiB) Προβλήθηκε 586 φορές

Σημείο

του ημιάξονα

συνδέεται με το S(4,3)

. Η κάθετη του

στο

, τέμνει τους

Ox,Oy

στα σημεία A,B

αντίστοιχα . Για ποια θέση του

είναι

;

vasisot · #2

KARKAR έγραψε:Αναζήτηση σημείου.pngΣημείο του ημιάξονα συνδέεται με το . Η κάθετη του στο , τέμνει τους

στα σημεία αντίστοιχα . Για ποια θέση του είναι ;

Η ευθεία $\displaystyle{AB}$ έχει εξίσωση $\displaystyle{y-3=a(x-4) \Leftrightarrow y=ax-4a+3, \quad a<0}$ και η κάθετη αυτής στο $\displaystyle{S}$ , $\displaystyle{y-3=-\frac{1}{a}(x-4) }$ από όπου βρίσκουμε $\displaystyle{A(\frac{4a-3}{a},0), \quad B(0, 3-4a) , \quad P(3a+4,0)}$ .

Η δοθείσα ισότητα γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle{(SPA)=(BSPO) \Leftrightarrow 2(SPA)=(OAB)\Leftrightarrow 2\cdot \frac{1}{2} \cdot AP \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \Leftrightarrow 6 OA-6 OP = OA\cdot OB }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow 2a^2+24a+9=0 \Leftrightarrow a= \frac{3}{2}(-4 \pm \sqrt{14}) . }$

Οπότε $\displaystyle{x_P = 3a+4 =-14\pm \frac{9}{2} \sqrt{14}}$ και αφού $\displaystyle{x_P >0}$ θα είναι τελικά $\displaystyle{x_P = -14 + \frac{9}{2} \sqrt{14} .}$

Επεξ. : Είχα ξεχάσει την τελευταία σειρά.

#3

KARKAR έγραψε:Αναζήτηση σημείου.pngΣημείο του ημιάξονα συνδέεται με το . Η κάθετη του στο , τέμνει τους

στα σημεία αντίστοιχα . Για ποια θέση του είναι ;

: Αναζήτηση σημείου.png (16.58 KiB) Προβλήθηκε 547 φορές

Έστω

. Από τα όμοια τρίγωνα BES, PSH

, παίρνουμε $\displaystyle{PH = \frac{{3x}}{4}}$ και από τα όμοια τρίγωνα ASP, OAB

:

$\displaystyle{\frac{{(ASP)}}{{(OAB)}} = \frac{1}{2} = \frac{{S{P^2}}}{{O{B^2}}} \Leftrightarrow S{P^2} = \frac{{{{(x + 3)}^2}}}{2}}$

Αλλά, $\displaystyle{S{P^2} = \frac{{9{x^2}}}{{16}} + 9}$ , οπότε $\displaystyle{\frac{{9{x^2}}}{{16}} + 9 = \frac{{{{(x + 3)}^2}}}{2} \Leftrightarrow x = 6(4 \pm \sqrt {14} )}$ (η ρίζα με το

απορρίπτεται γιατί δίνει σημείο

στον αρνητικό ημιάξονα)

Άρα τελικά $\boxed{OP = \frac{{9\sqrt {14} - 28}}{2}}$

Αναζήτηση σημείου

Αναζήτηση σημείου

Re: Αναζήτηση σημείου

Re: Αναζήτηση σημείου

Μέλη σε σύνδεση