Πλευρικές ασυνέχειες

Καραδήμας · #1

Σωστό ή λάθος? Έχουμε μια συνάρτηση $f:[a,b]\to {\mathbb R}$ . Αν το σύνολο των σημείων στα οποία είναι ασυνεχής από αριστερά είναι αριθμήσιμο τότε το σύνολο των σημείων στα οποία είναι ασυνεχής από δεξιά είναι αριθμήσιμο.

#2

Καραδήμας έγραψε:Σωστό ή λάθος? Έχουμε μια συνάρτηση $f:[a,b]\to {\mathbb R}$ . Αν το σύνολο των σημείων στα οποία είναι ασυνεχής από αριστερά είναι αριθμήσιμο τότε το σύνολο των σημείων στα οποία είναι ασυνεχής από δεξιά είναι αριθμήσιμο.

Απάντηση: Λ

Π.χ. f στο [0,1] με $f(0) = 0, f(x) = \frac{1}{n+1}\,\, \sigma \tau \o \,\,[ \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}),\, f(1) = 1$ .

Είναι παντού συνεχής από δεξιά, ασυνεχής στα 1/(n+1) από αριστερά.

Καραδήμας · #3

Να το διευκρινίσω: αριθμήσιμο = το πολύ αριθμήσιμο.

#4

Ναι, το φρόντισα αυτό. Τα μόνα επίμαχα σημεία είναι τα 0 και 1, αλλά έτσι όπως όρισα την f, είναι δεξιά συνεχής και σε αυτά.

M.

Καραδήμας · #5

Να το ξαναδιευκρινίσω: όταν γράφω "αριθμήσιμο" εννοώ κενό, πεπερασμένο ή άπειρο αριθμήσιμο.

Λάθος θα πει: υπάρχει συνάρτηση με το πολύ αριθμήσιμα σημεία ασυνέχειας από τη μιά και υπεραριθμήσιμα σημεία ασυνέχειας από την άλλη.

#6

Καραδήμας έγραψε:Να το ξαναδιευκρινίσω: όταν γράφω "αριθμήσιμο" εννοώ κενό, πεπερασμένο ή άπειρο αριθμήσιμο.

Λάθος θα πει: υπάρχει συνάρτηση με το πολύ αριθμήσιμα σημεία ασυνέχειας από τη μιά και υπεραριθμήσιμα σημεία ασυνέχειας από την άλλη.

Αααα. Αν είναι και το κενό μέσα, τότε αλλάζει.
Οπότε ψάχνεις για τι γίνεται "από την άλλη πλευρά των πληθαρίθμων, προς τα πάνω".
Θα το δω.

Μ.

Καραδήμας · #7

Η απάντηση είναι: σωστό.

peter · #8

Καραδήμας έγραψε:Σωστό ή λάθος? Έχουμε μια συνάρτηση $f:[a,b]\to {\mathbb R}$ . Αν το σύνολο των σημείων στα οποία είναι ασυνεχής από αριστερά είναι αριθμήσιμο τότε το σύνολο των σημείων στα οποία είναι ασυνεχής από δεξιά είναι αριθμήσιμο.

Θέλουμε να δείξουμε ότι το σύνολο A^+(f)

των σημείων στα οποία η

είναι δεξιά ασυνεχής είναι το πολύ αριθμήσιμο. Αρκεί να κοιτάξουμε εκείνα τα σημεία στα οποία η

είναι αριστερά συνεχής και δεξιά ασυνεχής.

Θέτουμε αυτό το σύνολο

. Τότε το

γράφεται $B=\bigcup_{m=1}^\infty B_m$ , όπου $B_m=\{x\in C^-(f) : {\rm osc}^+(f,x)>1/m \}$ . Με C^-(f)

συμβολίζουμε τα σημεία στα οποία η

είναι αριστερά συνεχής και με ${\rm osc}^+(f,x)$ τη δεξιά ταλάντωση της

στο

. Δηλαδή, ${\rm osc}^+(f,x)=\inf\{ \sup\{ |f(t)-f(x)| : x<t<x+\delta\} : \delta>0 \}$ .

Έτσι, αρκεί να δείξουμε ότι κάθε B_m

είναι αριθμήσιμο. Αν θεωρήσουμε $x\in B_m$ , τότε από την αριστερή συνέχεια της

στο

υπάρχει $\delta_x>0$ ώστε $|f(t)-f(x)|<\frac{1}{3m}$ για κάθε $x-\delta_x<t<x$ .

Επιπλέον, είναι $(x-\delta_x, x)\cap B_m=\emptyset$ . Αυτό δίνει ότι το B_m

είναι το πολύ αριθμήσιμο.

Πλευρικές ασυνέχειες

Πλευρικές ασυνέχειες

Re: Πλευρικές ασυνέχειες

Re: Πλευρικές ασυνέχειες

Re: Πλευρικές ασυνέχειες

Re: Πλευρικές ασυνέχειες

Re: Πλευρικές ασυνέχειες

Re: Πλευρικές ασυνέχειες

Re: Πλευρικές ασυνέχειες

Μέλη σε σύνδεση