Γεωμετρική Ανισότητα σε Κυρτό Τετράπλευρο

#1

Δίνεται κυρτό τετράπλευρο με εμβαδό $\displaystyle{S}$ και μήκη πλευρών $\displaystyle{a \le b \le c \le d.}$
Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{S \le \frac{{3\sqrt 3 }}{4}{c^2}}.$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Προφανώς ισχύει ότι:

$S \le d^2}$ η ισότητα ισχύει αν a=b=c=d

και το τετράπλευρο είναι τετράγωνο.

Όμως η ανισότητα που ζητείται χρησιμοποιεί την προτελευταία πλευρά, υπάρχει δηλαδή περίπτωση c<d.

Στο σχήμα φαίνεται ένα τετράπλευρο όπου έχει πλευρές a=b=c

και

και είναι ισοσκελές τραπέζιο. Το εμβαδόν του είναι:

$S=\dfrac{3\sqrt{3}c^2}{4}$

και αποτελείται από 3 ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς c.

Προφανώς όμως αυτό δεν αποτελεί απόδειξη...

dement · #3

Μπορούν να γίνουν κάποιες παρατηρήσεις. Ελπίζω να είμαι σωστός.

1. Αν πλευρές μήκους διάφορου του

έχουν κοινή κορυφή, το εμβαδόν μπορεί να μεγαλώσει ("κινώντας" τη μία πλευρά πάνω στην άλλη) διατηρώντας αμετάβλητο το

μέχρι τουλάχιστον μία να έχει μήκος

.
2. Αν πλευρές μήκους

βρίσκονται απέναντι η μία στην άλλη, μπορώ να τις περιστρέψω (την κάθε μία γύρω από κάποια κορυφή της) μεγαλώνοντας το εμβαδόν μέχρι

2α. Είτε να έχω τρεις πλευρές μήκους

. Σε αυτή την περίπτωση, περιστρέφω δύο πλευρές μήκους

διατηρώντας σταθερή την πλευρά μήκους

ανάμεσά τους μέχρι να επιτύχω το 2β.
2β. Είτε να έχω ισοσκελές τραπέζιο, με μη παράλληλη πλευρά μήκους

και κάθετη στη διαγώνιο (οπότε η μεγάλη βάση είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου).

Τώρα πρέπει να μεγιστοποιήσουμε το εμβαδόν ισοσκελούς τραπεζίου, εγγράψιμου σε κύκλο ακτίνας

με μεγάλη βάση B = 2R

και μη παράλληλη πλευρά

. Η μικρή βάση έχει μήκος $\displaystyle b = 2R - \frac{c^2}{R}$ και πρέπει να ισχύει $b \leq c$ , οπότε $R \leq c$ . Επίσης, το εμβαδόν $\displaystyle E = \left( 4R - \frac{c^2}{R} \right) \frac{c}{2} \sqrt{1 - \frac{c^2}{4R^2}}$ είναι αύξουσα συνάρτηση του

οπότε μεγιστοποιείται για R = c

με τιμή $\displaystyle E = \frac{3 \sqrt{3}}{4} c^2$ . Τώρα το σχήμα του Διονύση είναι απόδειξη!

#4

Δημήτρη συμφωνώ ότι μπορούμε πράγματι να ανάγουμε το πρόβλημα σε τετράπλευρο με τρεις ίσες πλευρές (χωρίς να είμαι σίγουρος για την βέλτιστη στρατηγική αναγωγής). Από εκεί και πέρα δεν βλέπω άμεση γεωμετρική λύση*, καθώς η τέταρτη πλευρά δεν είναι αναγκαστικά διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου. Υπάρχει όμως αλγεβρική αναγωγή -- χάρις στο Θεώρημα του KARKAR εδώ -- σε ισοσκελές τραπέζιο, και από εκεί και πέρα μπορούμε να συμπληρώσουμε την λύση και με Λογισμό (όπως περίπου έπραξες).

*δηλαδή: αν οι τρεις πλευρές τετραπλεύρου είναι ίσες προς

... τότε το εμβαδόν του δεν μπορεί να ξεπερνά το εμβαδόν τριών ισοπλεύρων τριγώνων πλευράς

... θα έπρεπε να βγαίνει αυτό γεωμετρικά, χωρίς τα παραπάνω!

#5

Μια (αλγεβρική...) προσέγγιση:

Είναι γνωστό (βλέπε π.χ. εδώ) ότι ισχύει η σχέση

$\displaystyle{{S^2} = \left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)\left( {s - d} \right) - abcd{\cos ^2}\frac{{A + C}}{2},}$

όπου $\displaystyle{s = \frac{{a + b + c + d}}{2}}$ η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι

$\displaystyle{{S^2} \le \left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)\left( {s - d} \right),}$

με το ίσον αν και μόνο αν $\displaystyle{A + C = {180^ \circ },}$ δηλαδή αν και μόνο αν το τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο.

Έχουμε τώρα, χρησιμοποιώντας την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου, ότι:

$\displaystyle{{S^2} \le \left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)\left( {s - d} \right) = \left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)\left( {a + b + c - s} \right) = }$

$\displaystyle{ = {3^3}\left( {\frac{{s - a}}{3}} \right)\left( {\frac{{s - b}}{3}} \right)\left( {\frac{{s - c}}{3}} \right)\left( {a + b + c - s} \right) \le }$

$\displaystyle{ \le \frac{{{3^3}}}{{{4^4}}}{\left[ {\left( {\frac{{s - a}}{3}} \right) + \left( {\frac{{s - b}}{3}} \right) + \left( {\frac{{s - c}}{3}} \right) + \left( {a + b + c - s} \right)} \right]^4} = }$

$\displaystyle{ = \frac{{{3^3}}}{{{4^4}}}{\left[ {\frac{2}{3}\left( {a + b + c} \right)} \right]^4} \le \frac{{{3^3}}}{{{4^4}}}{\left[ {\frac{2}{3}\left( {3c} \right)} \right]^4} = \frac{{{3^3}}}{{{2^4}}}{c^4},}$

οπότε $\displaystyle{S \le \frac{{3\sqrt 3 }}{4}{c^2}}$ και το ζητούμενο δείχθηκε.

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν το τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ είναι εγγράψιμο και

$\displaystyle{\frac{{s - a}}{3} = \frac{{s - a}}{3} = \frac{{s - a}}{3} = s - d.}$

Η τελευταία σχέση δίνει ότι $\displaystyle{a = b = c}$ και $\displaystyle{d = \frac{{2s + a}}{3} \Leftrightarrow d = \frac{{3a + d + a}}{3} \Leftrightarrow d = 2a.}$

Αυτό συμβαίνει στο σχήμα που έδωσε παραπάνω ο Διονύσης.

#6

Βαγγέλη πολύ όμορφη λύση -- φυσικά και είχα σκεφθεί να χρησιμοποιήσω τον τύπο του εμβαδού τετραπλεύρου, αποθαρρύνθηκα όμως από την παρουσία του

, δεν 'είδα' την μετέπειτα 'εξαφάνιση' του!

Γεωμετρική Ανισότητα σε Κυρτό Τετράπλευρο

Γεωμετρική Ανισότητα σε Κυρτό Τετράπλευρο

Re: Γεωμετρική Ανισότητα σε Κυρτό Τετράπλευρο

Re: Γεωμετρική Ανισότητα σε Κυρτό Τετράπλευρο

Re: Γεωμετρική Ανισότητα σε Κυρτό Τετράπλευρο

Re: Γεωμετρική Ανισότητα σε Κυρτό Τετράπλευρο

Re: Γεωμετρική Ανισότητα σε Κυρτό Τετράπλευρο

Μέλη σε σύνδεση