Αποδεικτική με συνθήκη

#1

Αν

με $\displaystyle{abc \ne 0}$ , να αποδείξετε ότι:

1) $\displaystyle{\frac{{{a^4}}}{{{b^3} + {c^3} - 3abc}} + \frac{{{b^4}}}{{{a^3} + {c^3} - 3abc}} + \frac{{{c^4}}}{{{a^3} + {b^3} - 3abc}} = 0}$

2) $\displaystyle{\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} + \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = 0}$

kostas232 · #2

Καλησπέρα και πάλι.
Για την πρώτη έχουμε
$\displaystyle{b^3+c^3-3abc=(b+c)(b^2-bc+c^2)=-a[(b+c)^2-3bc]-3abc=-a(a^2-3bc)-3abc=-a^3+3abc-3abc=-a^3(1)}$ .
Ομοίως παίρνουμε και $\displaystyle{a^3+c^3-3abc=-b^3(2), a^3+b^3-3abc=-c^3(3)}$ .
Επομένως, λόγω των σχέσεων (1), (2) και (3) η ισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε είναι ισοδύναμη με την
$\displaystyle{\frac{a^4}{-a^3}+\frac{b^4}{-b^3}+\frac{c^4}{-c^3}=0\Leftrightarrow -a-b-c=0\Leftrightarrow -(a+b+c)=0}$ , που ισχύει.
Για τη δεύτερη θα είναι $\displaystyle{a+b+c=0\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc}$ (από γνωστή ταυτότητα).
Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι
$Εικόνα$ , που ισχύει.
Κωνσταντίνος Τερζής

#3

Πολύ ωραία

Με τις ίδιες συνθήκες, a+b+c=0

, $abc \ne 0$ να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:

$\displaystyle{A = \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3ab(c + 2)}}{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}}$

kostas232 · #4

Ας αφήσω την ευκαιρία σε κάποιον άλλον μιας και είμαι Α' Λυκείου.

harrisp · #5

george visvikis έγραψε:Πολύ ωραία

Με τις ίδιες συνθήκες, , $abc \ne 0$ να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:

$\displaystyle{A = \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3ab(c + 2)}}{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}}$

Μία προσπάθεια:

Ο αριθμητής γίνεται:

3abc-3ab(c+2)=

Ο παρονομαστής τώρα:

(a+b)^2-2ab-c^2=

Τέλος,

$\displaystyle\frac{-6ab}{-2ab}=3$

Edit: διορθώθηκε το λάθος ύστερα απο την παρατήρηση του christodoulos703 τον οποίο ευχαριστώ πολυ.

christodoulos703 · #6

Πολύ ωραίες και οι δύο εκφωνήσεις.

Λίγο πρόχειρα,η προηγούμενη παράσταση ισούται με 3 αν το υπολόγισα σωστά.Σημειωση: Ταυτότητα Euler

Φιλικά,
Χριστοδουλος.

christodoulos703 · #7

Να επισημάνω ότι του Γιωργου ή λυση είναι λάθος γιατί μπέρδεψε τα πρόσημα στον αριθμητή.

christodoulos703 · #8

Να επισημάνω ότι οι άσκησεις που πρότεινε ο Γιωργος υπάρχουν και στο βιβλίο του Χαραλαμπου Στεργιου για τις Ολυμπιάδες Μαθηματικών για την Α λυκείου και ήταν σε διαγωνισμό στη Σλοβενια το 1995.

#9

christodoulos703 έγραψε:Να επισημάνω ότι οι άσκησεις που πρότεινε ο Γιωργος υπάρχουν και στο βιβλίο του Χαραλαμπου Στεργιου για τις Ολυμπιάδες Μαθηματικών για την Α λυκείου και ήταν σε διαγωνισμό στη Σλοβενια το 1995.

Αν αυτές οι ασκήσεις μπήκαν σε διαγωνισμό στη Σλοβενία το 1995

, τότε να επισημάνω ότι δεν ήταν καθόλου πρωτότυπες

αφού τις είχαμε ήδη κάνει στο φροντιστήριο με τον καθηγητή μου Λάζαρο Θρουμουλόπουλο το 1971!!!

Αποδεικτική με συνθήκη

Αποδεικτική με συνθήκη

Re: Αποδεικτική με συνθήκη

Re: Αποδεικτική με συνθήκη

Re: Αποδεικτική με συνθήκη

Re: Αποδεικτική με συνθήκη

Re: Αποδεικτική με συνθήκη

Re: Αποδεικτική με συνθήκη

Re: Αποδεικτική με συνθήκη

Re: Αποδεικτική με συνθήκη

Μέλη σε σύνδεση