Υπάρχει σταθερά;

Tolaso J Kos · #1

Τη παρακάτω άσκηση τη πέτυχα σε βιβλίο. Δεν έχω λύση.

Να εξεταστεί αν υπάρχει σταθερά $Q \neq 1$ τέτοια ώστε η τιμή της $\displaystyle{\left \lfloor Q^{2^n} \right \rfloor}$ να 'ναι πρώτος για κάθε $n \geq 0$ .

#2

Τόλη, είσαι σίγουρος για το 2^n

;

Την έχω ξαναδεί την άσκηση με 3^n

αντί

με την απάντηση να είναι θετική. Βασίζεται στο γεγονός ότι πάντα υπάρχει πρώτος μεταξύ των m^3

και

. Για να αντικατασταθεί το

με

σε αυτήν την απόδειξη θα πρέπει να γνωρίζουμε ότι πάντα υπάρχει πρώτος μεταξύ των m^2

και

το οποίο προς το παρόν είναι εικασία.

Tolaso J Kos · #3

Δημήτρη, ναι, έτσι το δίνει. Πάντως, αν θες δώσε μας και απάντηση αν αλλάξουμε το

με

. Θα θελα να δω ένα επιχείρημα με τη παραπλήσια.

#4

Demetres έγραψε:
... πάντα υπάρχει πρώτος μεταξύ των και .

Νομίζω ότι και αυτό είναι εικασία. Έπεται από την Εικασία του Riemann, αλλά έχει αποδειχθεί μόνο για αρκετά μεγάλα

. Δείτε π.χ. εδώ. Αυτό αρκεί για την απόδειξη της ύπαρξης της σταθεράς

(που αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως σταθερά του Mills).

#5

Κι εγώ ξέρω για 3 αντί 2.

Έχω γράψει μερικά πράγματα στην εργασία εδώ: http://www.math.uoc.gr/~ags/prime_formulas.pdf αντλώντας πληροφορίες από το αντίστοιχο paper του Mills:

Mills W. H., A prime-representing function, Bulletin of the
American Mathematical Society 53 (1947) 604.

Αλέξανδρος

Tolaso J Kos · #6

Καταρχάς ευχαριστώ για τη συμμετοχή. Βλέπω, εκ των υστέρων , πως το βιβλίο δίνει και απαντήσεις και στη συγκεκριμένη απλά λέει πως είναι ανοιχτό πρόβλημα. Διάβασα την εργασία του Αλέξανδρου αλλά δε νομίζω να είδα απόδειξη για το γεγονός ότι υπάρχει $Q \neq 1$ τέτοιο ώστε $\lfloor Q^{3^{n}} \rfloor$ να 'ναι πρώτος για κάθε $n \geq 0$ . Μήπως θέλει κάποιος να τη γράψει;

#7

Η απόδειξη υπάρχει στο paper του Mills που παρέθεσα παραπάνω. Το επισυνάπτω για πληρότητα. Στηρίζεται σε ένα προηγούμενο αποτέλεσμα του A.E. Ingham:

A.E. Ingham On the difference between consecutive primes, Quart. J. Math. Oxford Ser. vol. 8 (1937) pp. 255-266

σύμφωνα με το οποίο αν p_n

είναι ο

-οστός πρώτος τότε $p_{n+1}-p_n<Kp_n^{5/8}$ όπου

ένας σταθερός θετικός ακέραιος.

Ο σκοπός την εργασίας μου που αναφέρω παραπάνω, ήταν να παρουσιάσω τύπους που δίνουν τον

-οστό πρώτο αριθμό για τις διάφορες τιμές του

(υπάρχουν πολλοί κλειστοί ΚΑΙ αναδρομικοί τύποι σε αντίθεση με αυτό που γράφει το σχολικό βιβλίο στην Α Λυκείου στο εισαγωγικό κεφάλαιο των ακολουθιών ότι τέτοιοι τύποι δεν υπάρχουν. Είχα στείλει έγγραφο στο Υπουργείο πριν χρόνια - όταν ακόμη το κεφάλαιο των προόδων ήταν στη Β Λυκείου - για να κάνουν την αλλαγή αλλά τίποτα...). Μάλιστα παρουσιάζω και την απόδειξη ενός τύπου η οποία είναι σε όλη την έκτασή της κατανοητή από κάποιον που γνωρίζει στοιχειώδη θεωρία αριθμών (πλην ενός δύσκολου λήμματος που η απόδειξή του θέλει ισχυρότατα εργαλεία αναλυτικής θεωρίας αριθμών).

Αλέξανδρος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Νομίζω οτι το παρακάτω έχει ενδιαφέρον για αυτά που συζητούνται.
https://www.sonoma.edu/math/colloq/prim ... _24_08.pdf

Αρχιμήδης 6 · #9

Tolaso J Kos έγραψε:Τη παρακάτω άσκηση τη πέτυχα σε βιβλίο. Δεν έχω λύση.

Να εξεταστεί αν υπάρχει σταθερά $Q \neq 1$ τέτοια ώστε η τιμή της $\displaystyle{\left \lfloor Q^{2^n} \right \rfloor}$ να 'ναι πρώτος για κάθε $n \geq 0$ .

Αν είχαμε αποδείξει το παρακάτω ισχυρότερο αποτέλεσμα τότε ίσως να είχαμε απάντηση.

$p_{n+1}-p_n<kp_n^{\dfrac{1-m}{2}}$ ,για κάποιον θετικό

.

Καλύτερο δυνατό αποτέλεσμα που μπόρεσα να βρώ είναι $p_{n+1}-p_n<kp_n^{\dfrac{1051}{1920}}$ και η πηγή είναι αυτή:

http://mathworld.wolfram.com/MillsTheorem.html

Υπάρχει σταθερά;

Υπάρχει σταθερά;

Re: Υπάρχει σταθερά;

Re: Υπάρχει σταθερά;

Re: Υπάρχει σταθερά;

Re: Υπάρχει σταθερά;

Re: Υπάρχει σταθερά;

Re: Υπάρχει σταθερά;

Re: Υπάρχει σταθερά;

Re: Υπάρχει σταθερά;

Μέλη σε σύνδεση