Τέλειο τετράγωνο!

Ορέστης Λιγνός · #1

Για ποιους φυσικούς αριθμούς

, ο αριθμός $\displasystyle 2^8+2^{11}+2^n$ είναι τέλειο τετράγωνο ;

harrisp · #2

Γεια σου Ορέστη!

Λοιπόν για $n\leq 7$ δεν έχουμε λύσεις. Εστω τώρα $n\geq 8$ . Είναι:

$A=2^8(2^3+1+2^{n-8})$

A=(2^4)^2(9+2^n-8)

. Συνεπώς για να είναι το

τέλειο τετράγωνο πρέπει το 9+2^n-8

τέλειο τετραγωνο.
Δηλαδή:

$3^2+2^{n-8}=k^2$ . Για k<3

δεν έχουμε λύσεις. Εστω τώρα k>3

. Εχουμε:

$2^{n-8}=(k-3)(k+3)$ . Αρα k-3=2^a, k+3=2^b

. Εχουμε:

. Για

δεν έχουμε λύσεις και μετά με δοκιμές εύκολα παίρνουμε ότι b=3

ή

.

Μοναδική τιμή λοιπόν n=12

#3

Με το χέρι ελέγχουμε τις τιμές $\displaystyle{0,1,2,3,4,5,6,7,8.}$ Οι αντίστοιχες τιμές του $\displaystyle{2^8+2^{11}+2^n}$ είναι οι $\displaystyle{2305,2306,2308,2312,2320,2336,2368, 2432,2560.}$

Από αυτές

$\displaystyle{\bullet}$ οι $\displaystyle{2308, 2312,2368,2432}$ λήγουν σε "απαγορευμένο" ψηφίο.

$\displaystyle{\bullet}$ οι $\displaystyle{2320, 2560}$ λήγουν σε ένα μηδέν, άρα διαιρούνται από το $\displaystyle{10}$ , αλλά όχι από το $\displaystyle{100.}$

$\displaystyle{\bullet}$ ο $\displaystyle{2305}$ διαιρείται από το

, αλλά όχι από το $\displaystyle{25}$

$\displaystyle{\bullet}$ ο $\displaystyle{2306}$ διαιρείται από το

, αλλά όχι από το

$\displaystyle{\bullet}$ ο $2336=2^5\cdot 73.$

Ας είναι τώρα $\displaystyle{n>8,}$ Τότε

$\displaystyle{2^8+2^{11}+2^n=2^8(2^{n-8}+2^3+1)=2^8(2^{n-8}+9).}$

Επομένως ο αριθμός αυτός είναι τέλειο τετράγωνο μόνο όταν το ίδιο συμβαίνει για τον $\displaystyle{2^{n-8}+9,}$ δηλαδή μόνο αν υπάρχει θετικός ακέραιος $\displaystyle{x,}$ ώστε

$\displaystyle{2^{n-8}+9=x^2\iff (x-3)(x+3)=2^{n-8}.}$

Για να συμβαίνει αυτό πρέπει να υπάρχουν φυσικοί $\displaystyle{a,b}$ με $\displaystyle{a<b,}$ ώστε $\displaystyle{x-3=2^a,x+3=2^b, a+b=n-8.}$

Από αυτές βρίσκουμε $\displaystyle{2^b-2^a=6.}$ Αν $\displaystyle{a\geq 2,}$ το αριστερό μέλος είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{4}$ , ενώ το δεξί όχι. Άρα $\displaystyle{a=1}$ ( το μηδε΄ν απορρίπτεται εύκολα).

Τότε προκύπτει $\displaystyle{b=3}$ και τελικά $\displaystyle{\boxed{n=12}}$

Πράγματι, $\displaystyle{2^8+2^{11}+2^{12}=2^8\cdot 5^2.}$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #4

Πρέπει να ισχύει ότι: $2^{11}+2^{8}+2^{n}=m^{2}\Leftrightarrow 48^{2}+2^{n}=m^{2}\Leftrightarrow 2^{n}=(m+48)(m-48)$

Άρα:
$m+48=2^{k}$ και $m-48=2^{n-k}$ , επομένως $2^{k}-2^{n-k}=96$ , συνεπώς προκύπτει εύκολα ότι k>6

και επίσης αναγκαστικά k<8

, γιατί αν ήταν παραπάνω, η διαφορά θα ήταν μεγαλύτερη του

. Άρα

, $2^{k}=128$ και $2^{n-k}=32$ . Άρα n=12

.

#5

Μία παρόμοια άσκηση είναι η ακόλουθη από τον Αρχιμήδη Νέων 2007-2008.
viewtopic.php?f=109&t=17945

Τέλειο τετράγωνο!

Τέλειο τετράγωνο!

Re: Τέλειο τετράγωνο!

Re: Τέλειο τετράγωνο!

Re: Τέλειο τετράγωνο!

Re: Τέλειο τετράγωνο!

Μέλη σε σύνδεση