Mix 13

erxmer · #1

Δίνεται μια έλλειψη με κέντρο την αρχή των αξόνων και a=3,b=2

.

1) Να βρεθεί η εξίσωσης της

2) Αν δυο διάμετροι της έχουν εξισώσεις $y=2x, y=\frac{-2}{9}x$ υπολογίστε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης στα άκρα των διαμέτρων

3) Ποιο το έμβαδο του πρα/μου που ορίζεται απο τις εφαπτομένες στα άκρα των δυο διαμέτρων της έλλειψης;

sotiriszogos · #2

Λήψη ggb

1)Η έλλειψη έχει κέντρο το A=(0,0)

και εξίσωση $\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ .
2) $\displaystyle (\Sigma_1)$ \displaystyle{\begin{cases} \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=2x \end{cases} \Rightarrow \cdot\cdot\cdot \Rightarrow \begin{cases} x=\frac{3}{\sqrt{10}}\\ y=\frac{6}{\sqrt{10}}\end{cases} \eta \begin{cases} x=-\frac{3}{\sqrt{10}}\\ y=-\frac{6}{\sqrt{10}}\end{cases}

y=2x

\displaystyle L=(\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{6}{\sqrt{10}}) και

\displaystyle N=(-\frac{3}{\sqrt{10}},-\frac{6}{\sqrt{10}})

\displaystyle (\Sigma_2)} $\begin{cases} \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=-\frac{2}{9}x \end{cases} \Rightarrow \cdot\cdot\cdot \Rightarrow \begin{cases} x=\frac{9}{\sqrt{10}}\\ y=-\frac{2}{\sqrt{10}}\end{cases} \eta \begin{cases} x=-\frac{9}{\sqrt{10}}\\ y=\frac{2}{\sqrt{10}}\end{cases}$ .
Οπότε η $y=-\frac{2}{9}x$ τέμνει την έλλειψη στα σημεία $\displaystyle M=(\frac{9}{\sqrt{10}},-\frac{2}{\sqrt{10}})$ και $\displaystyle K=(-\frac{9}{\sqrt{10}},\frac{2}{\sqrt{10}})$ .
Η εφαπτομένη της έλληψης σ ενα σημειο B=(x_1,y_1)

έχει συντεταγμένες $\displaystyle \frac{xx_1}{9}+\frac{yy_1}{4}=1$ .
Κάνοντας αντικατάσταση κάθε σημείο παίρνουμε :
Εφαπτομένη στο $\displaystyle L: (\varepsilon_1) : \frac{x}{3\sqrt{10}}+\frac{3y}{2\sqrt{10}}=1$ .
Εφαπτομένη στο $\displaystyle N: (\varepsilon_2) : -\frac{x}{3\sqrt{10}}-\frac{3y}{2\sqrt{10}}=1$ .
Εφαπτομένη στο $\displaystyle M: (\varepsilon_3) : \frac{x}{\sqrt{10}}-\frac{y}{2\sqrt{10}}=1$ .
Εφαπτομένη στο $\displaystyle K: (\varepsilon_4) : -\frac{x}{\sqrt{10}}+\frac{y}{2\sqrt{10}}=1$ .

3)Σημείο τομής των $(\varepsilon_1),(\varepsilon_3)$ είναι η λύση του συστήματος $\displaystyle \begin{cases} \frac{x}{3\sqrt{10}}+\frac{3y}{2\sqrt{10}}=1\\ \frac{x}{\sqrt{10}}-\frac{y}{2\sqrt{10}}=1\end{cases} \Rightarrow \cdot\cdot\cdot \Rightarrow \begin{cases} x=\frac{6\sqrt{10}}{5}\\ y=\frac{2\sqrt{10}}{5}\end{cases}$ και άρα το σημείο $R=(\frac{6\sqrt{10}}{5},\frac{2\sqrt{10}}{5})$ .
Σημείο τομής των $(\varepsilon_2),(\varepsilon_4)$ είναι η λύση του συστήματος $\displaystyle \begin{cases} -\frac{x}{3\sqrt{10}}-\frac{3y}{2\sqrt{10}}=1 \\ -\frac{x}{\sqrt{10}}+\frac{y}{2\sqrt{10}}=1 \end{cases} \Rightarrow \cdot\cdot\cdot \Rightarrow \begin{cases} x=-\frac{6\sqrt{10}}{5}\\ y=-\frac{2\sqrt{10}}{5}\end{cases}$ και άρα το σημείο $T=(-\frac{6\sqrt{10}}{5},-\frac{2\sqrt{10}}{5})$ .
Σημείο τομής των $(\varepsilon_2),(\varepsilon_3)$ είναι η λύση του συστήματος $\displaystyle \begin{cases} -\frac{x}{3\sqrt{10}}-\frac{3y}{2\sqrt{10}}=1 \\\frac{x}{\sqrt{10}}-\frac{y}{2\sqrt{10}}=1 \end{cases} \Rightarrow \cdot\cdot\cdot \Rightarrow \begin{cases} x=\frac{3\sqrt{10}}{5}\\ y=-\frac{4\sqrt{10}}{5}\end{cases}$ και άρα το σημείο $S=(\frac{3\sqrt{10}}{5},-\frac{4\sqrt{10}}{5})$ .
Σημείο τομής των $(\varepsilon_1),(\varepsilon_4)$ είναι η λύση του συστήματος $\displaystyle \begin{cases} \frac{x}{3\sqrt{10}}+\frac{3y}{2\sqrt{10}}=1 \\ -\frac{x}{\sqrt{10}}+\frac{y}{2\sqrt{10}}=1 \end{cases} \Rightarrow \cdot\cdot\cdot \Rightarrow \begin{cases} x=-\frac{3\sqrt{10}}{5}\\ y=\frac{4\sqrt{10}}{5}\end{cases}$ και άρα το σημείο $P=(-\frac{3\sqrt{10}}{5},\frac{4\sqrt{10}}{5})$ .
$RS=\sqrt{((\frac{3\sqrt{10}}{5})-(\frac{6\sqrt{10}}{5}))^2+((-\frac{4\sqrt{10}}{5})-(\frac{2\sqrt{10}}{5}))^2}=3\sqrt{2}$ .
Η κάθετη απόσταση του

από την ευθεία $(\varepsilon_3)$ δίνεται απ τον τύπο $\displaystyle d(M,(\varepsilon_3))=\frac{\left| Ax_0+By_0+\Gamma \right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \Rightarrow \cdot\cdot\cdot \Rightarrow d(M,(\varepsilon_3))=4\sqrt{2}$ .
Οπότε το εμβαδόν του τετραπλεύρου PRST

είναι ίσο με $E=RS*d(M,(\varepsilon_3))=3\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}=24$ .

Mix 13

Mix 13

Re: Mix 13

Μέλη σε σύνδεση