1-1

#1

Να δείξετε ότι η συνάρτηση $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ , $\displaystyle f(z)=\frac{z}{1+|z|}$ αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Εστω $w=\frac{z}{1+\left | z \right |}$ (1)

Για z=0

έχουμε

Διαφορετικά είναι z=kw

με

Η (1) παίρνοντας μέτρα δίνει $\left | z \right |=\frac{\left | w \right |}{1-\left | w \right |}$

Επειδή $k=\frac{\left | z \right |}{\left | w \right |}$

παίρνουμε ότι $z=\frac{w}{1-\left | w \right |}$

Αρα $f^{-1}(w)=\frac{w}{1-\left | w \right |}$ με $\left | w \right |< 1$
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ.
Ιδια διαδικασία δίνει
Αν

χώρος με νόρμα η $f:X\rightarrow \left \{ x:\left \| x \right \|< 1 \right \}$
με $f(x)=\frac{x}{1+\left \| x \right \|}$
είναι 1-1 και επί με $f^{-1}(x)=\frac{x}{1-\left \| x \right \|}$
Επιπλέον και οι δύο είναι συνεχείς.

1-1

1-1

Re: 1-1

Μέλη σε σύνδεση