Πρόβλημα με πίνακα!

#1

Σε κάθε κελί ενός πίνακα $6\times 7$ γράφουμε έναν από τους αριθμούς

ή

έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε γραμμή να είναι διαφορετικό και το άθροισμα των αριθμών σε κάθε στήλη το ίδιο. Ποιο μπορεί να είναι το άθροισμα των αριθμών στην πρώτη στήλη;

Μπορούμε να γενικεύσουμε για πίνακα $m\times n;$

#2

Ωραίο θέμα και αυτό! Ελπίζω να είμαι σωστός. Θανάση ποια είναι η πηγή;

Έχουμε

γραμμές με

κελιά η καθεμιά, άρα τα δυνατά αθροίσματα είναι από

μέχρι

, δηλαδή

πιθανές τιμές.
Αφού τα αθροίσματα στις γραμμές είναι 6 και όλα διαφορετικά, θα παίρνουν

από τις

αυτές τιμές και δεν θα παίρνουν μόνο δύο από αυτές, έστω x,y

.
Αν

είναι το άθροισμα της κάθε στήλης, τότε εξισώνοντας τα αθροίσματα πάνω από όλες τις γραμμές και πάνω από όλες τις στήλες έχουμε:

$7S=0+1+2+\ldots+7-x-y$ επομένως $7S=7\cdot 4-x-y$ οπότε $7\mid x+y$ και επειδή τα $x,y\leq 7$ είναι διαφορετικά πρέπει x+y=7

,

οπότε S=3

.

Ας συμπληρώσει κάποιος και το παράδειγμα που λείπει

#3

Ας δούμε και μια κατασκευή:

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1&0&0&0&0&0&0\\ \hline 1&1&0&0&0&0&0\\ \hline 1&1&1&0&0&0&0\\ \hline 0&0&0&1&1&1&1 \\ \hline 0&0&1&1&1&1&1\\ \hline 0&1&1&1&1&1&1\\ \hline \end{tabular}$

[Επέλεξα να δοκιμάσω να αφήσω πίσω τα x=0,y=7

. Οπότε τα αθροίσματα θα είναι τα 1,2,3,4,5,6

. Τα χωρίζω σε τρία ζεύγη με άθροισμα

και για κάθε τέτοιο ζεύγος (a,b)

έφτιαξα δύο γραμμές ώστε στην μία να έχω άσσους στις πρώτες

θέσεις και στην άλλη να έχω άσσους στις τελευταίες

θέσεις.]

Πρόβλημα με πίνακα!

Πρόβλημα με πίνακα!

Re: Πρόβλημα με πίνακα!

Re: Πρόβλημα με πίνακα!

Μέλη σε σύνδεση