Τὸ τρίγωνο καὶ οἱ διχοτόμοι του.

michmak · #1

Εἶναι γνωστὰ τὰ προβλήματα γιὰ τὰ ὁποῖα ἂν σὲ ἕνα τρίγωνο ἔχουμε δύο διαμέσους ἢ ὕψη ποὺ εἶναι ἴσα τότε τὸ τρίγωνο εἶναι ἰσοσκελές. Ἰσχύει ὅμως τὸ ἴδιο καὶ γιὰ τὶς διχοτόμους;

Στὴν προσπάθειά μου νὰ τὸ ἀποδείξω ἀναγκάστηκα νὰ ἀποδείξω τελικὰ κάτι ἰσχυρότερο τὸ ὁποῖο δὲν ξέρω ποὺ μπορεῖ νὰ βρίσκεται καὶ γι' αὐτὸ τὸ ὑποβάλλω στὴν κρίση σας.

"Σὲ ἕνα τρίγωνο σὲ ἄνισες πλευρὲς ἀντιστοιχοῦν ἀντιστρόφως ἄνισες διχοτόμοι".

Δηλαδὴ ἂν b > c

τότε

$d_{b} < d_{c}$

Λήψη ggb

Ἀπὸ τὰ τρίγωνα ABE καὶ ACG ἐφαρμόζοντας τὴ γενίκευση τοῦ Πυθαγορείου Θεωρήματος ἔχουμε:

$d_{b}^{2}=c^{2}+AE^{2}-2cAEcosA$ (1)

καὶ

$d_{c}^{2}=b^{2}+AG^{2}-2bAGcosA$ (2)

Ἀπὸ τὶς (1) καὶ (2) μὲ κατάλληλη διαίρεση καὶ στὰ δύο μέλη παίρνουμε:

$\frac{d_{b}^{2}}{cAE}=\frac{c}{AE}+\frac{AE}{c}-2cosA$ (3)

καὶ

$\frac{d_{c}^{2}}{bAG}=\frac{b}{AG}+\frac{AG}{b}-2cosA$ (4)

Ἐπίσης ἀπὸ τὸ θεώρημα τῆς διχοτόμου γιὰ τὶς $d_{b}$ καὶ $d_{c}$ ἔχουμε:

$\frac{AE}{EC}=\frac{c}{a}\Rightarrow \frac{AE}{b}=\frac{c}{a+c}$ (5)

καὶ

$\frac{AG}{GB}=\frac{b}{a}\Rightarrow \frac{AG}{c}=\frac{b}{a+b}$ (6)

καὶ διαιρῶντας τὶς (5) καὶ (6) κατὰ μέλη ἔχουμε τελικά:

$\frac{AG}{AE}=\frac{a+c}{a+b}<1\Rightarrow AG<AE$

ἐπειδὴ $\frac{c}{b}<1$ .

Ὁπότε ἀφοῦ καὶ $\frac{AG}{AE}<1$ εἶναι $\frac{cAG}{bAE}<1$

δηλαδὴ $\frac{c}{AE}<\frac{b}{AG}$ . (7)

Ἐπίσης στὸ τρίγωνο ABE εἶναι $\angle E>\angle B$ ὡς ἐξωτερικὴ τοῦ τριγώνου EBC καὶ ἑπομένως $c>AE\Rightarrow \frac{c}{AE}>1$

Ἄρα ἔχουμε τελικὰ λαμβάνοντας ὑπ' ὄψιν καὶ τὴν (7) $1<\frac{c}{AE}<\frac{b}{AG}$ . (8)

Στὶς (3) καὶ (4) παρατηροῦμε ὅτι οἱ δύο πρῶτοι προσθετέοι τῶν δεύτερων μελῶν εἶναι ἀντίστροφοι ἀριθμοὶ μὲ τοὺς πρῶτα γραμμένους ἀπὸ αὐτοὺς νὰ εἶναι μεγαλύτεροι τῆς μονάδος ὅπως μᾶς λέει ἡ (8).

Συνεπῶς ἂν θελήσουμε νὰ συγκρίνουμε τὰ δεύτερα μέλη τῶν (3) καὶ (4) βλέπουμε ὅτι (3) < (4)

Ὁ εὐκολότερος τρόπος γιὰ νὰ διαπιστωθεῖ αὐτό, εἶναι νὰ δοῦμε ὅτι ἡ συνάρτηση $f(x)=x+\frac{1}{x}$ εἶναι γνησίως αὔξουσα γιὰ x>1

καὶ ἑπομένως ἡ (8) δίνει ὅτι (3) < (4) γιὰ τὰ δεύτερα μέλη τους.

Ἄρα γιὰ τὰ πρῶτα θὰ ἔχουμε:

$\frac{d_{b}^{2}}{cAE}<\frac{d_{c}^{2}}{bAG}\Leftrightarrow\frac{d_{b}^{2}}{d_{c}^{2}}<\frac{cAE}{bAG}=\frac{c}{AG}\frac{AE}{b}$

ποὺ ἀπὸ τὶς (5) καὶ (6) αὐτὸ ἰσοῦται μὲ $\frac{c}{a+c}\cdot \frac{a+b}{b}=\frac{c}{b}\cdot \frac{a+b}{a+c}<\frac{c}{b}\cdot \frac{b}{c}=1$
ἐπειδὴ b>c

.

Ἄρα εἶναι $\frac{d_{b}^{2}}{d_{c}^{2}}<1$

δηλαδὴ

$\frac{d_{b}}{d_{c}}<1\Leftrightarrow d_{b}<d_{c}$ .

καὶ ἑπομένως ἡ πρόταση ποὺ λέει ὅτι τὸ τρίγωνο ποὺ ἔχει δύο ἴσες διχοτόμους εἶναι ἰσοσκελὲς ἰσχύει.

Μιχάλης Μακρίδης

#2

Υπάρχουν

αποδείξεις του Ιωάννη Φ. Πανάκη πάνω σ' αυτό το θέμα εδώ

michmak · #3

Εὐχαριστῶ πολὺ γιὰ τὴν ὑπόδειξη! Δὲν τὸ εἶχα ὑπ'' ὄψη μου. Ἡ δική μου λύση ταυτίζεται μὲ τὴν 7 ἀπόδειξη τοῦ συγγράμματος. Ἀλλὰ θὰ σᾶς παρακαλοῦσα νὰ σκανάρετε καὶ τὴν παράγραφο 84 ποὺ ἀναφέρει στὴν ἀπόδειξή του ὅτι ἂν δύο πλευρὲς εἶναι ἄνισες τότε οἱ διχοτόμοι τους θὰ εἶναι ἀνομοίως ἄνισες, ὅπως τὸ λέει.

καὶ πάλι εὐχαριστῶ πολύ.

Μιχαὴλ Μακρίδης

Τὸ τρίγωνο καὶ οἱ διχοτόμοι του.

Τὸ τρίγωνο καὶ οἱ διχοτόμοι του.

Re: Τὸ τρίγωνο καὶ οἱ διχοτόμοι του.

Re: Τὸ τρίγωνο καὶ οἱ διχοτόμοι του.

Μέλη σε σύνδεση