Ζητείται απόδειξη

Grosrouvre · #1

Καλησπέρα σας!

Θα με ενδιέφερε η απόδειξη στον παρακάτω ισχυρισμό (ενδεχομένως να είναι απλό και γνωστό, αλλά δεν το γνωρίζω):

Μόνο τα τέλεια τετράγωνα έχουν περιττό αριθμό διαιρετών.

Αντιλαμβάνομαι ότι ένα τέλειο τετράγωνο πρώτου αριθμού, έχει τρεις διαιρέτες. Τον εαυτό του, τη ρίζα του και τη μονάδα. Τι γίνεται όμως με τα τετράγωνα των μη πρώτων αριθμών;

#2

Grosrouvre έγραψε:Καλησπέρα σας!

Θα με ενδιέφερε η απόδειξη στον παρακάτω ισχυρισμό (ενδεχομένως να είναι απλό και γνωστό, αλλά δεν το γνωρίζω):

Μόνο τα τέλεια τετράγωνα έχουν περιττό αριθμό διαιρετών.

Αντιλαμβάνομαι ότι ένα τέλειο τετράγωνο πρώτου αριθμού, έχει τρεις διαιρέτες. Τον εαυτό του, τη ρίζα του και τη μονάδα. Τι γίνεται όμως με τα τετράγωνα των μη πρώτων αριθμών;

Μήπως σε βοηθάει ίσως το γεγονός ότι αν για παράδειγμα στην αναλυμένη μορφή είναι $a=x^{2m}y^{2n}$ , όπου x,y

είναι πρώτοι, τότε

το πλήθος των διαιρετών του αριθμού

είναι

, που είναι προφανώς περιττός αριθμός ;

Μπάμπης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Θα σου δώσω δύο αποδείξεις.
1)Εστω $n\geq 2$ φυσικός
Αν

διαιρέτης του τότε και ο $\frac{n}{d}$ είναι διαιρέτης του.
Ετσι οι διαιρέτες πάνε σε ζευγάρια εκτός αν υπάρχει διαιρέτης με $d=\frac{n}{d}$
Δηλαδή $n=d^{2}$
Από τα παραπάνω έχουμε ότι
ένας αριθμός έχει περιττό πλήθος διαιρετών αν και μόνο αν είναι τέλειο τετράγωνο.
2)Γράφουμε τον αριθμό σαν γινόμενο πρώτων
$n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}.....p_{k}^{a_{k}}$
όπου $k\geq 1$ φυσικός και $a_{i}\geq 1$ φυσικοί.
Ενας διαιρέτης του

έχει την μορφή
$m=p_{1}^{c_{1}}p_{2}^{c_{2}}.....p_{k}^{c_{k}}$
οπου $0\leq c_{i}\leq a_{i}$
Τότε όμως το κάθε $c_{i}$ μπορεί να επιλεχθεί με $a_{i}+1$ τρόπους.
Από την πολλαπλασιαστική αρχή το πλήθος των διαιρετών είναι
$(a_{1}+1)(a_{2}+1)......(a_{k}+1)$
Προφανώς αυτός είναι περιττός αν και μόνο αν ολα τα $a_{i}$ είναι άρτιοι
δηλαδή ο

είναι τέλειο τετράγωνο.

Grosrouvre · #4

Ευχαριστώ πάρα πολύ και τους δύο σας!

Ουσιαστικά, με την τοποθέτηση του Σταύρου αποδεικνύονται όλες οι λεπτομέρειες του ισχυρισμού.

Ζητείται απόδειξη

Ζητείται απόδειξη

Re: Ζητείται απόδειξη

Re: Ζητείται απόδειξη

Re: Ζητείται απόδειξη

Μέλη σε σύνδεση