ερώτηση απόδειξης - Τοπολογία

Akerlof · #1

Έστω $E,\;E'$ μετρικοί χώροι και $f:E\longrightarrow E'$ μια απεικόνιση με την εξής ιδιότητα: Ο περιορισμός της $f\,|\,A$ σε κάθε συμπαγές υποσύνολο $A\in E$ να είναι συνεχής συνάρτηση. Να αποδειχθεί ότι η

είναι συνεχής στο

.

Η άσκηση είναι από το βιβλίο του Dieudonneé Foundations of Modern Analysis,(PROBLEMS) μπορείτε να το βρείτε ηλεκτρονικά εδώ https://archive.org/stream/FoundationsO ... 7/mode/2up , είναι η άσκηση 5 , κεφάλαιο 3.17 ,σελίδα στο βιβλίο 62 , στο link ηλεκτρονικά είναι στη σελίδα 78.
(Στα αγγλικά η άσκηση του βιβλίου : Let E,E{'}

be two metric spaces ,

a mapping of

into

. Show that if the restriction of

to any compact subspace of

is continuous, then

is continuous in

).
Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει στην απόδειξη-λύση του ανωτέρω .
Ευχαριστώ !

dement · #2

Υπόθεσε ότι η

δεν είναι συνεχής στο

. Τι σημαίνει αυτό; Τι πρέπει να προσπαθήσεις να κατασκευάσεις;

Καλή δουλειά και εδώ είμαστε.

#3

...ή θεώρησε για τυχόν σημείο $a\in E$ ένα συμπαγές σύνολο

του

που περιέχει το

. Αλλά κάθε συμπαγής μετρικός χώρος είναι και ακολουθιακά συμπαγής...

dement έγραψε:..Καλή δουλειά και εδώ είμαστε.

χρηστος ευαγγελινος · #4

Αρκεί να δείξεις ότι ισχύει η αρχή της μεταφοράς. οπότε πάρε μια συγκλίνουσα ακολουθία στο πεδίο ορισμού. Τότε παρατήρησε ότι το σύνολο Α που αποτελείται από όλους τους όρους της ακολουθίας ένωση με το όριό της είναι συμπαγές (γιατι?) Άρα ο περιορισμός της συνάρτησης σ αυτό το Α είναι εξ υποθέσεως συνεχής άρα για αυτήν ισχύει η αρχή της μεταφοράς. Τώρα το ζητούμενο είναι σχεδόν άμεσο

Akerlof · #5

Καλησπέρα σε όλους !
Καταρχήν θα ήθελα να σας ευχαριστήσω για τις οδηγίες-υποδείξεις σας, άπλα ακολουθώντας την τυπικότητα του βιβλίου του Dieudonneé πρέπει και θα ήθελα κι εγώ ο ίδιος να λύσω την άσκηση χρησιμοποιώντας τον ορισμό του Heine [3.13.14 ορισμός σελίδες 51-52 από το βιβλίο] (θα κάνω τη μετάφραση ,διορθώστε με αν κάνω κάτι λάθος)
Αν (E_1,d_1),(E_2,d_2)

μετρικοί χώροι και Ø≠A⊆E_1

, ενώ $a\in\overline{A}$ , $b\in{E_2}$ και $f:A\to{E_2}$ , τότε θα λέμε ότι $\lim_{x\to\alpha} f(x)=b$ , όταν για κάθε $({\chi_n})_n_\in_\mathbb{N}\in A^\mathbb{N}$ τέτοια ώστε $\lim_{n\to\infty} x_n=\alpha<=>\lim_{n\to\infty} d_1^{*}(x_n,a)=0$ έχουμε $\lim_{n\to\infty} f(x_n)=b<=>\lim_{n\to\infty} d_2^{*}f((x_n),b)=0$
και χρησιμοποιώντας ιδιότητες των συμπαγών και συνέχεια να καταλήξω στην λύση-απόδειξή του.
Γι'αυτό, δεν μου είναι τόσο εύκολο να βρω τη λύση με τον τρόπο που θέλω ....

χρηστος ευαγγελινος · #6

Νομίζω πως πρώτα πρέπει να γράψεις τη λύση (αφού πρώτα τη βρεις) και μετά να την προσαρμόσεις σε οποιοδήποτε στυλ. Εξ άλλου, αν κατάλαβα σωστά, θέμα συμβολισμού είναι ο τρόπος που θα τη γράψεις.

Akerlof · #7

Παραθέτω μια λύση,
θα χρειαστώ τις συμβουλές σας ....
Χρησιμοποιώντας κάποιες αποδείξεις,ορισμούς κτλ , κατέληξα στα εξής :
" Ας είναι E_1

,

μετρικοί χώροι και $f:E_1\to E_2$ μια συνάρτηση τότε :
Αν A_i

, $i\in I$ είναι μια πεπερασμένη οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του E_1

τέτοια, ώστε $E_1=\bigcup_{i \in I}A_i$ παρατηρούμε ότι για κάποιο

είναι

Τότε,
συμπαγές

κλειστό.
Άρα η

είναι συνεχής σε κάθε ένα από τα A_i

Απόδειξη των ανωτέρω :
Έστω

τυχόν σημείο του

και $(x_\nu)_\nu_\in _\mathbb{N}$ τυχούσα ακολουθία εν

, με ${\lim_{\nu\in \mathbb{N}} x_\nu=x$ . Τότε για κάθε υπακολουθία $(f(x_\mu))_\mu_\in _M$ της $(f(x_\nu))_\nu_\in _\mathbb{N}$ ισχύει ότι υπάρχει $i\in I$ ώστε $x_\mu\in A_i$ για άπειρα $\mu\in M$ .Αυτό ισχύει γιατί το

είναι πεπερασμένο. Θεωρούμε τότε την υπακολουθία $(x_\lambda)_\lambda_\in _\Lambda$ της $(x_\mu)_\mu_\in _M$ , με $x_\lambda\in A_i$ , $\lambda\in \Lambda$ . Τότε επειδή f|A_i

είναι συνεχής και $\lim_{\lambda\in \Lambda}x_\lambda=x\in A_i$ , αφού A_i

κλειστό , παίρνουμε
$f(x)=(f|A_i)(x)=\lim_{\lambda\in \Lambda}(f|A_i)(x_\lambda)={\lim_{\lambda\in \Lambda}f(x_\lambda)$
ΠΡΟΤΑΣΗ: Έστω $(\alpha_\nu)_\nu_\in _\mathbb{N}$ μία ακολουθία σ'ενα μετρικό χώρο

και $l\in E$ . Αν κάθε υπακολουθία $(\beta_\mu)_\mu_\in _M$ της $(\alpha_\nu)_\nu_\in _\mathbb{N}$ έχει υπακολουθία $(\gamma_\lambda)_\lambda_\in _\Lambda$ , με $\lim_{\lambda\in \Lambda}f(\gamma_\lambda)= l$ , τότε $\lim_{\nu\in \mathbb{N}}f(\alpha_\nu)= l$ .
πράγμα που αποδεικνύει την συνέχεια της

. "

#8

Akerlof έγραψε:..Αν , $i\in I$ είναι μια πεπερασμένη οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του τέτοια, ώστε $E_1=\bigcup_{i \in I}$ παρατηρούμε ότι για κάποιο είναι ...

Δεν ισχύει. π.χ. τα σύνολα $(-\infty,1]$ , $[-1,+\infty)$ είναι κλειστά σύνολα του $\mathbb{R}$ (αφού τα συμπληρώματά τους είναι ανοικτά) και ισχύει $(-\infty,1]\cup[-1,+\infty)=\mathbb{R}$ , αλλά, προφανώς, κανένα από τα δυο σύνολα δεν είναι το $\mathbb{R}$ .

Akerlof · #9

Συμβουλές γι'αυτή τη λύση ....
"
Έστω τυχόν σημείο $a\in E_1$ και $(x_n)_n_\in _\mathbb{N}$ ακολουθία του E_1

με ${\lim_{n\in \mathbb{N}}x_n=a$ . Τότε το σύνολο $S = \{x_n | n\in \mathbb{N} \} \bigcup \{a\}$
είναι συμπαγές αφού κάθε συγκλίνουσα ακολουθία του

έχει όριο στοιχείο του

.
Από την υπόθεση ο περιορισμός $f|S : S\subseteq E_1 \to f(S)\subseteq E_2$ είναι συνεχής συνάρτηση. Δηλαδή ${\lim_{n\in \mathbb{N}}f|_S(x_n)=f|_S(a)$
Αλλά τότε και ${\lim_{n\in \mathbb{N}}f(x_n)=f(a)$
Επειδή το

είναι τυχόν , αυτό συνεπάγεται ότι και η

είναι συνεχής στο E_1

. "

Υ.Γ. Ο σεισμός μας ταρακούνησε και βρήκαμε νέα λύση !!!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Αυτή είναι η ενδεδειγμένη λύση.
Το μόνο σημείο που μπορεί να έχει κάποιος ένσταση είναι
στην δικαιολόγηση ότι το

είναι συμπαγές.
Είναι πιο ξεκάθαρο αν αποδειχθεί με τον ορισμό της συμπάγειας με ανοικτά σύνολα.
(είναι γνωστή άσκηση)

#11

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:...Το μόνο σημείο που μπορεί να έχει κάποιος ένσταση είναι στην δικαιολόγηση ότι το είναι συμπαγές.
Είναι πιο ξεκάθαρο αν αποδειχθεί με τον ορισμό της συμπάγειας με ανοικτά σύνολα....

ή μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι το

είναι ακολουθιακά συμπαγές αφού οι κάθε συγκλίνουσα ακολουθία του

είναι υπακολουθία της $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ που συγκλίνει, προφανώς, στο $a\in S$ . Επειδή ο E_1

είναι μετρικός χώρος, η ακολουθιακή συμπάγεια είναι ισοδύναμη με την συμπάγεια.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #12

grigkost έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:...Το μόνο σημείο που μπορεί να έχει κάποιος ένσταση είναι στην δικαιολόγηση ότι το είναι συμπαγές.
Είναι πιο ξεκάθαρο αν αποδειχθεί με τον ορισμό της συμπάγειας με ανοικτά σύνολα....
ή μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι το είναι ακολουθιακά συμπαγές αφού οι κάθε συγκλίνουσα ακολουθία του είναι υπακολουθία της $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ που συγκλίνει, προφανώς, στο $a\in S$ . Επειδή ο είναι μετρικός χώρος, η ακολουθιακή συμπάγεια είναι ισοδύναμη με την συμπάγεια.

Δεν ισχύει ότι κάθε συγκλίνουσα ακολουθία στοιχείων του

είναι υπακολουθία της $(x_{n})$

π.χ $y_{n}=x_{3n}$ αν ο

είναι περιττός

και $y_{n}=a$ αν ο

είναι άρτιος.

Η $x_{1},x_{10},x_{2},x_{20},....$

Νομίζω ότι είναι αρκετά πιο δύσκολη η απόδειξη της ακολουθιακής συμπάγειας από την συμπάγεια.

#13

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
grigkost έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:...Το μόνο σημείο που μπορεί να έχει κάποιος ένσταση είναι στην δικαιολόγηση ότι το είναι συμπαγές.
Είναι πιο ξεκάθαρο αν αποδειχθεί με τον ορισμό της συμπάγειας με ανοικτά σύνολα....
ή μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι το είναι ακολουθιακά συμπαγές αφού οι κάθε συγκλίνουσα ακολουθία του είναι υπακολουθία της $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ που συγκλίνει, προφανώς, στο $a\in S$ . Επειδή ο είναι μετρικός χώρος, η ακολουθιακή συμπάγεια είναι ισοδύναμη με την συμπάγεια.
Δεν ισχύει ότι κάθε συγκλίνουσα ακολουθία στοιχείων του είναι υπακολουθία της $(x_{n})$

π.χ $y_{n}=x_{3n}$ αν ο είναι περιττός

και $y_{n}=a$ αν ο είναι άρτιος.

Η $x_{1},x_{10},x_{2},x_{20},....$

Νομίζω ότι είναι αρκετά πιο δύσκολη η απόδειξη της ακολουθιακής συμπάγειας από την συμπάγεια.

Σταύρο, έχεις δίκιο. Πάντως δεν πρέπει να είναι δύσκολη και η απόδειξη της ακολουθιακής συμπάγειας του

, αφού το έχει ακριβώς ένα σημείο συσσώρευσης.

ερώτηση απόδειξης - Τοπολογία

ερώτηση απόδειξης - Τοπολογία

Re: ερώτηση απόδειξης - Τοπολογία

Re: ερώτηση απόδειξης - Τοπολογία

Re: ερώτηση απόδειξης - Τοπολογία

Re: ερώτηση απόδειξης - Τοπολογία

Re: ερώτηση απόδειξης - Τοπολογία

Re: ερώτηση απόδειξης - Τοπολογία

Re: ερώτηση απόδειξης - Τοπολογία

Re: ερώτηση απόδειξης - Τοπολογία

Re: ερώτηση απόδειξης - Τοπολογία

Re: ερώτηση απόδειξης - Τοπολογία

Re: ερώτηση απόδειξης - Τοπολογία

Re: ερώτηση απόδειξης - Τοπολογία

Μέλη σε σύνδεση