Πω πω πεντάρια !

KARKAR · #1

: Ελάχιστη υποτείνουσα.png (8.36 KiB) Προβλήθηκε 1339 φορές

Η υποτείνουσα

του ορθογωνίου τριγώνου OAB

διέρχεται από την εξέχουσα

"γωνιά" του $1\times 8$ ορθογωνίου . Βρείτε το ελάχιστο μήκος της . Όπως θέλετε

harrisp · #2

Διαγραφή λαθος λύσης. Θα επανέλθω αργότερα. Σας ευχαριστώ πολυ για τις επισημάνσεις σας.

#3

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Kαλημέρα! Ελπίζω να είμαι σωστός . . .

Εστω και . Εύκολα .

$AB=\sqrt {\left( 8 +x\right) ^{2}+\left( y+1\right) ^{2}}\geq_ {\ldots }^{xy=8}\geq \sqrt {64}=8$

Χάρη καλημέρα

Απλά να πω ότι για να βρούμε ακρότατο (ολικό) από ανισοϊσότητα πρέπει να βεβαιώσουμε ότι υπάρχει τιμή της μεταβλητής
για την οποία θα ισχύει η ισότητα διαφορετικά βρίσκουμε φράγμα (άνω ή κάτω) και όχι ακρότατο (ολικό). Για ξανακοίταξέ το λίγο

π.χ. Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης $A = \sin x + \cos x,x \in R$ .

$\forall x \in R \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 \leqslant \sin x \leqslant 1 \hfill \\ - 1 \leqslant \cos x \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\left( + \right)} - 2 \leqslant$ $\sin x + \cos x \leqslant 2 \Rightarrow - 2 \leqslant A \leqslant 2$ αλλά προφανώς δεν είναι $\min A=-2\,\,\And \,\,\max A=2$

αφού δεν υπάρχουν πραγματικές τιμές του για τις οποίες η παράσταση να δίνει τιμές $-2\,\,\And \,\,2$
Φιλικά
Στάθης

Υ.Σ. Αποφάσισα να το γράψω δημόσια όχι για να μειώσω τον καταπληκτικό μικρό μας μαθητή Χάρη αλλά επειδή αρκετά παιδιά κάνουν το ίδιο λάθος.

#4

Καλημέρα και πάλι στους (απανταχού) "Άρχοντες".

Άλλωστε ο τίτλος ( που δεν μπήκε τυχαία ) παραπέμπει σε άλλο αποτέλεσμα.

Το θέμα είναι ποια είναι η λύση με το "ελάχιστο κόστος"

Ίδωμεν

Φιλικά Νίκος

#5

Για να μην μένει αναπάντηση:

Αν $t=\angle OAB$ (στο πρώτο τεταρτημόριο), το μήκος που θέλουμε ισούται $\displaystyle{\frac {8}{\sin t} + \frac {1}{\cos t }}$ . Έχει παράγωγο $\displaystyle{ \frac {\sin ^3 t - 8 \cos ^3t}{\sin ^2t \cos ^2 t} }$ , που μας ανάγει να λύσουμε την $\sin ^3 t - 8 \cos ^3t =0 \, (*)$ ή αλλιώς $\tan ^3 t =8$ . Από αυτήν εύκολα βλέπουμε ότι έχουμε ελάχιστο (βγαίνει απλά αν σκεφτούμε ότι η $\tan$ είναι γνήσια αύξουσα, που μας δίνει τα πρόσημα της (*)

εκατέρωθεν της ρίζας).

Από την τιμή $\tan t =2$ στο ελάχιστο συμπεραίνουμε ότι OA=1+4=5

και

. Τελικά η ελάχιστη τιμή της

είναι $5\sqrt 5$ , που διακαιώνει τον τίτλο της άσκησης.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε:Για να μην μένει αναπάντηση:

Αν $t=\angle OAB$ (στο πρώτο τεταρτημόριο), το μήκος που θέλουμε ισούται $\displaystyle{\frac {8}{\sin t} + \frac {1}{\cos t }}$ . Έχει παράγωγο $\displaystyle{ \frac {\sin ^3 t - 8 \cos ^3t}{\sin ^2t \cos ^2 t} }$ , που μας ανάγει να λύσουμε την $\sin ^3 t - 8 \cos ^3t =0 \, (*)$ ή αλλιώς $\tan ^3 t =8$ . Από αυτήν εύκολα βλέπουμε ότι έχουμε ελάχιστο (βγαίνει απλά αν σκεφτούμε ότι η $\tan$ είναι γνήσια αύξουσα, που μας δίνει τα πρόσημα της εκατέρωθεν της ρίζας).

Από την τιμή $\tan t =2$ στο ελάχιστο συμπεραίνουμε ότι και . Τελικά η ελάχιστη τιμή της είναι $5\sqrt 5$ , που διακαιώνει τον τίτλο της άσκησης.

Μιχάλη καλησπέρα

Πρόκειται για γνωστό πρόβλημα του (παλιού) σχολικού βιβλίου της Γ' Λυκείου (Θετικής κατεύθυνσης) με τους διαδρόμους και το ελάχιστο μήκος της σκάλας

Στάθης

#7

Στάθη,

Έχεις δίκιο. Τώρα αντιλαμβάνομαι και τι ακριβώς εννοούσε ο Νίκος στο παραπάνω ποστ του.

Ευχαριστώ και τους δύο.

#8

Καλημέρα

Κι άλλες λύσεις εδώ

#9

Καλησπέρα σε όλους!

Με τα εργαλεία της Αναλυτικής Γεωμετρίας και της "Ανάλυσης", παύει να είναι "διασκεδαστικό θέμα" και γίνεται όμορφο θέμα για το Λύκειο.

Ελπίζω ο επιμελητής του φακέλου να μη διαγράψει την (καθόλου διασκεδαστική) λύση, μόνο και μόνο για λόγους πλουραλισμού...

: 24-10-2016 Γεωμετρία.jpg (24.35 KiB) Προβλήθηκε 1122 φορές

Τα

είναι συνευθειακά, οπότε $\displaystyle \det \left( {\mathop {MB}\limits^ \to ,\;\mathop {MA}\limits^ \to } \right) = 0 \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&b\\ a&{ - 8} \end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow b = \frac{8}{a}$ .

Οπότε, $\displaystyle AB = \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{8}{a} + 8} \right)}^2}}$ .

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( a \right) = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {\frac{8}{a} + 8} \right)^2}\;\;a > 0$ έχει παράγωγο
$\displaystyle f'\left( a \right) = \frac{{2{a^4} + 2{a^3} - 128a - 128}}{{{a^3}}} = \frac{{2\left( {{a^3} - 64} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{{a^3}}}$ .

Εύκολα, με πίνακα προσήμων, βρίσκουμε ότι έχει ελάχιστο για a = 4

, με τιμή $\displaystyle f\left( 4 \right) = 125$ , οπότε το ελάχιστο μήκος της σκάλας είναι $\displaystyle AB = \sqrt {125} = 5\sqrt 5$ μ.μ.

Πω πω πεντάρια !

Πω πω πεντάρια !

Re: Πω πω πεντάρια !

Re: Πω πω πεντάρια !

Re: Πω πω πεντάρια !

Re: Πω πω πεντάρια !

Re: Πω πω πεντάρια !

Re: Πω πω πεντάρια !

Re: Πω πω πεντάρια !

Re: Πω πω πεντάρια !

Μέλη σε σύνδεση