Διαιρετότητα

big-pitsirikos · #1

Έστω οι αριθμοί μεταξύ 100

και

που σχηματίζονται μόνο από τα ψηφία 0,1,2,3,5

, χωρίς κανένα ψηφίο να επαναλαμβάνεται. Πόσοι και ποιοι από αυτούς διαιρούνται με το

;

Γ Γυμνασίου - Μέχρι την επέτειο του ΟΧΙ.

JimNt. · #2

big-pitsirikos έγραψε:Έστω οι αριθμοί μεταξύ και που σχηματίζονται μόνο από τα ψηφία , χωρίς κανένα ψηφίο να επαναλαμβάνεται. Πόσοι και ποιοι από αυτούς διαιρούνται με το ;

Γ Γυμνασίου - Μέχρι την επέτειο του ΟΧΙ.

Καλημέρα. Αφού (2,3)=1

, ισχύει πως αν 2|a

,

, τότε

,όπου

τυχαίος ακέραιος. Συνεπώς, αρκεί οι ζητούμενοι να διαιρούνται ταυτόχρονα και με

και με

. Επομένως, έστω της μορφής $\overline{xyz}$ , όλοι οι αριθμοί που πληρούν τις προϋποθέσεις. Τότε, αφού $2|\overline{xyz}$ $\Leftrightarrow$ z= 0

ή

. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις.
1. z=0

. Τότε πρέπει x+y=3n

(όπου

θετικός ακέραιος). Εύκολα παίρνουμε τις δυάδες (x,y)=(1,2),(2,1),(5,1),(1,5)

, που πληρούν τις προϋποθέσεις και δίνουν τους αριθμούς $\overline{xyz}= 120,210,510,150$

2. z=2

. Τότε πρέπει x+y+2=3m

(όπου

θετικός ακέραιος) ή x+y=3l+1

(όπου

θετικός ακέραιος). Παίρνουμε τις δυάδες (x,y)=(1,0),(3,1),(1,3)

που πληρούν τις προϋποθέσεις και δίνουν τους αριθμούς $\overline{xyz}= 102,312,132$ .

Διαιρετότητα

Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Μέλη σε σύνδεση