Ανισότητα για ρίζα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $a_{1}< a_{2}< a_{3}< ...< a_{n}$ πραγματικοί.

Εστω $a_{k}< r< a_{k+1}$

με $1\leqslant k\leq n-1$

Αν $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{r-a_{i}}=0$

Να αποδειχθεί ότι $\frac{1}{n-k}< \frac{r-a_{k}}{a_{k+1}-r}< k$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.
Δύο απλές ανισότητες είναι.
Τελείως στοιχειώδεις.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Γράφουμε την σχέση ώστε όλα να είναι θετικά.
Είναι $\dfrac{1}{r-a_{1}}+....+\dfrac{1}{r-a_{k}}=\dfrac{1}{a_{k+1}-r}+....+\dfrac{1}{a_{n}-r}$

οπότε $\dfrac{r-a_{k}}{r-a_{1}}+...+\dfrac{r-a_{k}}{r-a_{k-1}}+1=\dfrac{r-a_{k}}{a_{k+1}-r}+...+\dfrac{r-a_{k}}{a_{n}-r}$

Επειδή $\dfrac{r-a_{k}}{r-a_{i}}< 1,i=1,2,...k-1$

και $\dfrac{r-a_{k}}{r-a_{1}}+...+\dfrac{r-a_{k}}{r-a_{k-1}}+1>\dfrac{r-a_{k}}{a_{k+1}-r}$

Εχουμε την δεξιά ανισότητα.

Επειδή $\dfrac{r-a_{k}}{a_{i}-r}< \dfrac{r-a_{k}}{a_{k+1}-r},i=k+2,...,n$

και $1<\dfrac{r-a_{k}}{a_{k+1}-r}+...+\dfrac{r-a_{k}}{a_{n}-r}$

παίρνουμε την αριστερή ανισότητα

Η άσκηση είναι από το βιβλίο
πολυωνυμα του ν.ρουτση εκδ1972
ελαφρά τροποποιημένη

Ανισότητα για ρίζα

Ανισότητα για ρίζα

Re: Ανισότητα για ρίζα

Re: Ανισότητα για ρίζα

Μέλη σε σύνδεση