Σταθερό σημείο αύξουσας

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ αύξουσα.

Να δειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $c\epsilon [0,1]$

με f(c)=c

Συμπλήρωμα.Προς αποφυγή παρεξηγήσεων δεν υποθέτουμε ότι η συνάρτηση είναι επί.
Απλά παίρνει τις τιμές στο [0,1]

dement · #2

Κατασκευάζουμε ακολουθίες (a_n), (b_n)

ως εξής:

1. a_0 = 0, b_0 = 1

2. Αν $\displaystyle f \left( \frac{a_n + b_n}{2} \right) \leqslant \frac{a_n + b_n}{2}$ τότε $\displaystyle a_{n+1} = a_n, b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$ .
3. Αν $\displaystyle f \left( \frac{a_n + b_n}{2} \right) \geqslant \frac{a_n + b_n}{2}$ τότε $\displaystyle b_{n+1} = b_n, a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$ .

Η (a_n)

είναι αύξουσα και φραγμένη ενώ η (b_n)

φθίνουσα και φραγμένη, οπότε είναι και οι δύο συγκλίνουσες. Επίσης $\lim (b_n - a_n) = 0$ , οπότε έστω $c = \lim a_n = \lim b_n$ . Λόγω κλειστότητας, $c \in [0,1]$ .

Ισχύει $a_n \leqslant f(a_n) \leqslant f(c) \leqslant f(b_n) \leqslant b_n$ (λόγω μονοτονίας της

), οπότε από κριτήριο παρεμβολής έχουμε f(c) = c

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Καθόλου ωραία Δημήτρη.
Γράφεις που γράφεις λύση γράψε αυτή που έχω στο μυαλό μου να μην γράφω και εγώ.
Ας αφήσουμε τα αστεία και να γράψω την λύση μου.

Θέλουμε να πιάσουμε το σταθερό σημείο.Εκείνο που κάνουμε είναι να πάμε με ακολουθίες(λύση Δημήτρη)η με sup,inf.

Θέτουμε $A=\left \{ x\epsilon [0,1]:f(x)\geq x \right \}$

$A\neq \O$ γιατί $0\epsilon A$

Προφανώς

ανω φραγμένο οπότε υπάρχει το a=supA

1περίπτωση. a=1

Αν

τότε υπάρχει $x\epsilon A$ με $f(1)< x\leq 1$

Λόγω αύξουσας $f(x)\leq f(1)< x$ ΑΤΟΠΟ.

Αρα f(1)=1

και το

είναι σταθερό σημείο.

2περίπτωση. a<1

Για $x> a\Rightarrow f(x)< x$

Επειδή κάθε αύξουσα εχει πλευρικά όρια συμπεραίνουμε

ότι $\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)\leq a$ (1)

Αν $a\epsilon A$ τότε $a\leq f(a)\leq \lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)\leq a$

και το

είναι σταθερό σημείο.

Αν $a\notin A$ τότε θα έχουμε $\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)\geq a$ οπότε μαζί με την (1)

παίρνουμε οτι το .

είναι σταθερό σημείο.

Σταθερό σημείο αύξουσας

Σταθερό σημείο αύξουσας

Re: Σταθερό σημείο αύξουσας

Re: Σταθερό σημείο αύξουσας

Μέλη σε σύνδεση