Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

KARKAR · #1

: Ο δαιμόνιος μαθηματικός.png (13.82 KiB) Προβλήθηκε 2257 φορές

Βάζω ένα απλό θέμα και έχω την περιέργεια να δω πόσους τρόπους θα επινοήσει

ο δαιμόνιος μαθηματικός , ώστε να δώσει διαφορετική λύση από τους άλλους .

Στο σχήμα βλέπετε ένα ημικύκλιο και το μοναδικό ζητούμενο είναι η $\epsilon \phi\theta$ ...

#2

Ας ξεκινήσουμε...

: 10-11-2016 Γεωμετρία.jpg (20.02 KiB) Προβλήθηκε 2238 φορές

Από Πυθαγόρειο στο APB

είναι

. Φέρνω το ύψος

.

Είναι $\displaystyle PB \cdot PA = AB \cdot PK \Leftrightarrow PK = 4,8$ .

Από Πυθαγόρειο στο AKB

είναι

, οπότε

.

Οπότε $\displaystyle\varepsilon \varphi \theta = \varepsilon \varphi ({\rm A}PK - \varepsilon \varphi \varphi ) = \frac{{\frac{{6,4}}{{4,8}} - \frac{{2,4}}{{4,8}}}}{{1 + \frac{{6,4}}{{4,8}} \cdot \frac{{2,4}}{{4,8}}}} = \frac{1}{2}$ .

#3

KARKAR έγραψε:Ο δαιμόνιος μαθηματικός.pngΒάζω ένα απλό θέμα και έχω την περιέργεια να δω πόσους τρόπους θα επινοήσει

ο δαιμόνιος μαθηματικός , ώστε να δώσει διαφορετική λύση από τους άλλους .

Στο σχήμα βλέπετε ένα ημικύκλιο και το μοναδικό ζητούμενο είναι η $\epsilon \phi\theta$ ...

Καλησπέρα σε όλους!

: δαιμόνιος Μαθηματικός....png (16.33 KiB) Προβλήθηκε 2226 φορές

$\displaystyle{\omega = {90^0} - \theta = \theta + \widehat A \Leftrightarrow 2\theta = {90^0} - \widehat A \Leftrightarrow \tan 2\theta = \cot A = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{4{\tan ^2}\theta + 6\tan \theta - 4 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{\theta < {{90}^0}} }$ $\boxed{\tan \theta = \frac{1}{2}}$

sot arm · #4

Βάζω άλλη μία, φέροντας τον κύκλο κέντρου

και ακτίνας

.
Η

είναι εφαπτόμενη του κύκλου στο

αφού είναι κάθετη στην ακτίνα

.
Επομένως η γωνία $\hat{\theta}$ είναι η μισή της επίκεντρης $\hat{ABP}$ από την σχέση επίκεντρης γωνίας με την γωνίας υπό χορδής και εφαπτομένης .
Τέλος:
$\displaystyle{\tan(2\theta )= \frac{8}{6}\Leftrightarrow \frac{2\tan(\theta )}{1-\tan^{2}\theta}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow 4\tan^{2}(\theta)+6\tan(\theta)-4=0 }$

με δεκτή λύση την $\tan(\theta)=\frac{1}{2}$ .

#5

Και μία δίχως καμμία βοηθητική στο σχήμα του Θανάση.

: 10-11-2016 Γεωμετρία β.jpg (18.48 KiB) Προβλήθηκε 2216 φορές

Είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi \theta = \varepsilon \varphi \left( {90^\circ - \omega } \right) = \sigma \varphi \omega = \sigma \varphi \left( {90^\circ - \frac{{\rm B}}{2}} \right) = \varepsilon \varphi \frac{{\rm B}}{2}$

$\displaystyle = \sqrt {\frac{{1 - \sigma \upsilon \nu {\rm B}}}{{1 + \sigma \upsilon \nu {\rm B}}}} = \sqrt {\frac{{1 - \frac{3}{5}}}{{1 + \frac{3}{5}}}} = \frac{1}{2}$

Αφήνω ως άσκηση την ισότητα $\displaystyle \varepsilon \varphi \frac{{\rm B}}{2} = \sqrt {\frac{{1 - \sigma \upsilon \nu {\rm B}}}{{1 + \sigma \upsilon \nu {\rm B}}}}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ιστοσελίδα · #6

KARKAR έγραψε:Βάζω ένα απλό θέμα και έχω την περιέργεια να δω πόσους τρόπους θα επινοήσει

ο δαιμόνιος μαθηματικός , ώστε να δώσει διαφορετική λύση από τους άλλους .

Στο σχήμα βλέπετε ένα ημικύκλιο και το μοναδικό ζητούμενο είναι η $\epsilon \phi\theta$ ...

Καλησπέρα σε όλους!

: Ο-δαιμόνιος-Μαθηματικός.png (22.07 KiB) Προβλήθηκε 2216 φορές

Η κάθετη από το

στην

τέμνει την

στο

…για τα υπόλοιπα το σχήμα μιλάει μόνο του…

hlkampel · #7

KARKAR έγραψε:Ο δαιμόνιος μαθηματικός.pngΒάζω ένα απλό θέμα και έχω την περιέργεια να δω πόσους τρόπους θα επινοήσει

ο δαιμόνιος μαθηματικός , ώστε να δώσει διαφορετική λύση από τους άλλους .

Στο σχήμα βλέπετε ένα ημικύκλιο και το μοναδικό ζητούμενο είναι η $\epsilon \phi\theta$ ...

Άλλη μια

Έστω $\widehat {SPB} = \omega$ , τότε $\omega = 90^\circ - \varphi$

Από Πυθ. Θεώρημα στο τρίγωνο APB

βρίσκουμε

Είναι: $\dfrac{{\left( {ASP} \right)}}{{\left( {ASB} \right)}} = \dfrac{{SA}}{{SB}} \Leftrightarrow$

$\dfrac{{\dfrac{1}{2}PA \cdot PS\eta \mu \theta }}{{\dfrac{1}{2}PB \cdot PS\eta \mu \varphi }} = \dfrac{4}{6} \Leftrightarrow$

$\dfrac{{4\eta \mu \theta }}{{3\eta \mu \left( {90^\circ - \theta } \right)}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow$

$\dfrac{{4\eta \mu \theta }}{{\sigma \upsilon \nu \theta }} = 2 \Leftrightarrow$

$\varepsilon \varphi \theta = \dfrac{1}{2}$

#8

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
KARKAR έγραψε:Βάζω ένα απλό θέμα και έχω την περιέργεια να δω πόσους τρόπους θα επινοήσει

ο δαιμόνιος μαθηματικός , ώστε να δώσει διαφορετική λύση από τους άλλους .

Στο σχήμα βλέπετε ένα ημικύκλιο και το μοναδικό ζητούμενο είναι η $\epsilon \phi\theta$ ...
Καλησπέρα σε όλους!Ο-δαιμόνιος-Μαθηματικός.pngΗ κάθετη από το στην τέμνει την στο …για τα υπόλοιπα το σχήμα μιλάει μόνο του…

Ψηφίζω Μιχάλη

#9

Άλλη μία...

Νόμος συνημιτόνων στο PSB

: $\displaystyle{P{S^2} = 72\left( {1 - \frac{3}{5}} \right) \Leftrightarrow PS = \frac{{12}}{{\sqrt 5 }}}$

Νόμος ημιτόνων στο APS

: $\displaystyle{\frac{4}{{\sin \theta }} = \frac{{12/\sqrt 5 }}{{3/5}} \Leftrightarrow {\sin ^2}\theta = \frac{1}{5} = \frac{{{{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\tan \theta = \frac{1}{2}}$

ThePapaFranku · #10

Μμμμμμμμ...........Ενδιαφέρον θέμα.........

big-pitsirikos · #11

KARKAR έγραψε:
Ο δαιμόνιος μαθηματικός.png
Βάζω ένα απλό θέμα και έχω την περιέργεια να δω πόσους τρόπους θα επινοήσει

ο δαιμόνιος μαθηματικός , ώστε να δώσει διαφορετική λύση από τους άλλους .

Στο σχήμα βλέπετε ένα ημικύκλιο και το μοναδικό ζητούμενο είναι η $\epsilon \phi\theta$ ...

Φέρνουμε $SK \perp AB$ .

Προφανώς $\widehat{APB}=90^0$ (βαίνει σ ημικύκλιο), άρα PA=8

.

Από θεώρημα Θαλή $\dfrac{AK}{KP}=\dfrac{2}{3}, AK+KP=8$ , άρα $AK=\dfrac{16}{5}, KP=\dfrac{24}{5}$ .

Από τα όμοια τρίγωνα SAK,PAB

παίρνουμε $KS=\dfrac{12}{5}$ .

Τέλος στο τρίγωνο PKS

είναι $\tan \theta=\dfrac{\dfrac{12}{5}}{\dfrac{24}{5}} \Leftrightarrow \boxed{\tan \theta=\dfrac{1}{2}}$

#12

Χάριν πλουραλισμού,
Στο αρχικό σχήμα, επίσης δίχως βοηθητικές.

Από Τριγωνομετρικό CEVA

$\displaystyle \frac{{AS}}{{SB}} = \frac{{\eta \mu \theta \cdot PA}}{{\eta \mu \omega \cdot PB}} \Leftrightarrow \frac{4}{6} = \frac{{\eta \mu \theta \cdot 8}}{{\sigma \upsilon \nu \frac{{\rm B}}{2} \cdot 6}} \Leftrightarrow \eta \mu \theta = \frac{1}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{\rm B}}{2}.$

Είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{3}{5} \Rightarrow 2\sigma \upsilon {\nu ^2}{\rm B} - 1 = \frac{3}{5} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \frac{{\rm B}}{2} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$ .

Οπότε $\displaystyle \eta \mu \theta = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$ , άρα $\displaystyle \frac{{\varepsilon {\varphi ^2}\theta }}{{\varepsilon {\varphi ^2}\theta + 1}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \theta = \frac{1}{2}$ .

#13

Και μια ακόμα αμιγώς γεωμετρική, εκτός του καταληκτικού τύπου.

: 10-11-2016 Γεωμετρία γ.jpg (31.07 KiB) Προβλήθηκε 2150 φορές

Προεκτείνω την

που τέμνει τον κύκλο διαμέτρου

στο

.

Σημειώνω τις ίσες εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στα ίδια τόξα και παρατηρώ ότι τα PSB, ASK

είναι όμοια

και ισχύει $\displaystyle \frac{{AK}}{{PB}} = \frac{{AS}}{{PS}} \Leftrightarrow AK = \frac{{24}}{{PS}}.$

Επίσης τα KSB, ASP

είναι όμοια και ισχύει $\displaystyle \frac{{KB}}{{AP}} = \frac{{BS}}{{PS}} \Leftrightarrow KB = \frac{{48}}{{PS}}.$

Οπότε, $\displaystyle \varepsilon \varphi \theta = \frac{{{\rm A}{\rm K}}}{{{\rm K}{\rm B}}} = \frac{1}{2}.$

STOPJOHN · #14

KARKAR έγραψε:Ο δαιμόνιος μαθηματικός.pngΒάζω ένα απλό θέμα και έχω την περιέργεια να δω πόσους τρόπους θα επινοήσει

ο δαιμόνιος μαθηματικός , ώστε να δώσει διαφορετική λύση από τους άλλους .

Στο σχήμα βλέπετε ένα ημικύκλιο και το μοναδικό ζητούμενο είναι η $\epsilon \phi\theta$ ...

Καλησπέρα σε όλους η μεγάλη δυσκολία .......που είχα στο θέμα είναι να αποφύγω τις δώδεκα λύσεις και έπεσα στην γρουσούζικη δέκατη-τρίτη......Καμία σχέση με τα ποδοσφαιρικά δρώμενα ..................
Από τις τεμνόμενες χορδές $MP,AB, SP=\dfrac{24}{a},(1),a=MS=MA$
Θεώρημα
$Stweart,APB,SP=\dfrac{12\sqrt{5}}{5},(2), (1),(2)\Rightarrow a=2\sqrt{5}, MB^{2}=100-4.5\Leftrightarrow MB=4\sqrt{5},(3), tan\theta =\dfrac{a}{MB}=\dfrac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\dfrac{1}{2}$

Φιλικά και ΘΡΥΛικά

Γιάννης

#15

Φέρνουμε την

παράλληλη προς την

, οπότε $\angle PSQ=\theta$ και βέβαια $SQ \perp AB$ . Επίσης από τα όμοια τρίγωνα BSQ, BAP

εύκολα βλέπουμε ότι $PQ= \frac {24}{10}, \, SQ= \frac {48}{10}$ . Άρα $\tan \theta = \tan PSQ = \frac {24/10}{48/10}= \frac {1}{2}$ .

#16

Αλλιώς: Φέρνουμε $BQ \parallel AP$ , οπότε $\angle SQB=\theta$ και $BQ\perp BS$ . Από τα όμοια τρίγωνα APS, BQS

εύκολα βλέπουμε ότι BQ=12

. Άρα $\tan \theta = \frac {6}{12} = \frac {1}{2}$ .

#17

Κι άλλη μία.

Φέρνω $\displaystyle{SH \bot AB}$ και εύκολα βρίσκω $\displaystyle{HS = HP = 3}$

: δαιμόνιος Μαθηματικός....II.png (16.5 KiB) Προβλήθηκε 2096 φορές

Νόμος ημιτόνων στο APS

: $\displaystyle{\frac{8}{{\sin ({{90}^0} + \theta )}} = \frac{4}{{\sin \theta }} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\tan \theta = \frac{1}{2}}$

Γιώργος Μήτσιος · #18

Kαλημέρα σε όλους !!

: Δαιμόνιο .. Μαθηματικών.PNG (7.07 KiB) Προβλήθηκε 2082 φορές

Φέρω $BH\perp PS$ . Εύκολα βρίσκουμε $\widehat{B}=2\theta$ και $\sigma \upsilon \nu 2\theta =\sigma \upsilon \nu \widehat{B}=3/5$

Από τον τριγ. τύπο $\dfrac{1-\varepsilon \varphi ^{2}\theta }{1+\varepsilon \varphi ^{2}\theta }=\sigma \upsilon \nu 2\theta =3/5$ $\Rightarrow ..\varepsilon \varphi ^{2}\theta =1/4$ με δεκτή τιμή $\varepsilon \varphi \theta =1/2$

Γιώργος Μήτσιος · #19

..Ακόμη μία

: Δαιμόνιος Μαθηματικός.PNG (9.12 KiB) Προβλήθηκε 2076 φορές

Θωρούμε τον κύκλο (B, BP=6)

οπότε διάμετρος SE=12

. Τότε (βλ. σχήμα ) $\widehat{APS}=\widehat{PES}=\theta$ (χορδής κι' εφαπτομένης..)

Είναι $\sigma \upsilon \nu \widehat{B}=3/5$ και από τον Ν. Συνημιτόνων στο BPS

προκύπτει : $PS^{2}=4\cdot 6^{2}/5$

ενώ το Π.Θ στο ορθ. PES

μας δίνει $PE^{2}=SE^{2}-PS^{2}\Rightarrow PE^{2}=16\cdot 6^{2}/5$ άρα PE=2PS

και τελικά $\varepsilon \varphi \theta =\dfrac{PS}{PE}=\dfrac{1}{2}$

Υ.Γ Θα συμφωνήσω ότι ο καλλιτέχνης Μιχάλης Νάννος "μίλησε" κυρίως με το σχήμα ..

Φιλικά Γιώργος .

#20

: Δαιμόνιος μαθηματικός.png (23.61 KiB) Προβλήθηκε 2073 φορές

Δεν γράφω λόγια αφου η πρώτη μου σκέψη συνέπεσε κατ ουσίαν ( απ ότι βλέπω) με την τελευταία επιλογή του φίλου μου του Γιώργου του Βισβίκη.

Όμως θα γράψω( με αυτοσαρκασμό

) :

Αφού εποκλάψαν όλοι ενεδάκρυσε και η ...χήρα

Φιλικά Νίκος

Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Re: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Re: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Re: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Re: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Re: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Re: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Re: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Re: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Re: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Re: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Re: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Re: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Re: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Re: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Re: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Re: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Re: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Re: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Re: Ο δαιμόνιος Μαθηματικός

Μέλη σε σύνδεση