Διάμεσος και ύψος

pito · #1

Αν

είναι η διάμεσος και το ύψος αντίστοιχα τριγώνου ABC

, να δείξετε ότι $|\vec{AB}|^{2}-|\vec{AC}|^{2}=2\vec{BC}\vec{MD}$ .

#2

pito έγραψε:Αν είναι η διάμεσος και το ύψος αντίστοιχα τριγώνου , να δείξετε ότι $|\vec{AB}|^{2}-|\vec{AC}|^{2}=2\vec{BC}\vec{MD}$ .

Καλό μεσημέρι!

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \\ \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^ \otimes {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 2\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {MD} }$ (θεώρημα προβολών)

pito · #3

Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση, μπορεί να λυθεί και χωρίς προβολές, αφού είναι εκτός ύλης φέτος, αν στο τελικό βήμα πούμε ότι $2\vec{MA}\vec{BC}=2(\vec{MD}+\vec{DA})\vec{BC}=2\vec{MD}\vec{BC}$ αφού το $\vec{DA}$ είναι κάθετο στο $\vec{BC}$ .

Γιώργος Απόκης · #4

pito έγραψε:Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση, μπορεί να λυθεί και χωρίς προβολές , καθώς αυτές είναι εκτός ύλης φέτος;

Kαλησπέρα Μυρτώ και Γιώργο! Λύνεται και χωρίς προβολές:

Έχουμε $\displaystyle{\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA})\cdot\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{BC}}$

αφού $\displaystyle{\overrightarrow{DA}\perp\overrightarrow{BC}}$

#5

Καλημέρα, στη λύση του Γιώργου μπορούμε να συνεχίσουμε ως εξής:

$\displaystyle {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 2\overrightarrow {MA} \cdot\overrightarrow {BC} = 2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DA} } \right)\cdot\overrightarrow {BC} =$

$\displaystyle =2\overrightarrow {MD} \cdot\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {DA} \cdot\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BC} \cdot\overrightarrow {MD}$

αφού $\displaystyle \overrightarrow {DA} \cdot\overrightarrow {BC} = 0$ , εφόσον είναι κάθετα διανύσματα.

Ουσιαστικά, αποδεικνύουμε το θεώρημα των προβολών. Οπότε αναρωτιέμαι: Αν είναι να ζητάμε από τους μαθητές τις ίδιες ασκήσεις, αλλά στερώντας τους εργαλεία (= μείωση ύλης), αυτό ονομάζεται πρόοδος;

pito · #6

Γιώργο, ευχαριστώ, όπως βλέπεις Γιάννης κερνάει, Γιάννης πίνει...απάντησα μόνη μου.

pito · #7

$\displaystyle {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = 2\overrightarrow {MA} \cdot\overrightarrow {BC} = 2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DA} } \right)\cdot\overrightarrow {BC} =$

$\displaystyle =2\overrightarrow {MD} \cdot\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {DA} \cdot\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BC} \cdot\overrightarrow {MD}$

αφού $\displaystyle \overrightarrow {DA} \cdot\overrightarrow {BC} = 0$ , εφόσον είναι κάθετα διανύσματα.

Ουσιαστικά, αποδεικνύουμε το θεώρημα των προβολών. Οπότε αναρωτιέμαι: Αν είναι να ζητάμε από τους μαθητές τις ίδιες ασκήσεις, αλλά στερώντας τους εργαλεία (= μείωση ύλης), αυτό ονομάζεται πρόοδος;[/quote]

Κύριε Γιώργο , εύλογη η απορία σας, υπάρχουν και καθηγητές που έχουν διδάξει κανονικά τις προβολές.

Γιώργος Απόκης · #8

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Ουσιαστικά, αποδεικνύουμε το θεώρημα των προβολών. Οπότε αναρωτιέμαι: Αν είναι να ζητάμε από τους μαθητές τις ίδιες ασκήσεις, αλλά στερώντας τους εργαλεία (= μείωση ύλης), αυτό ονομάζεται πρόοδος;

Θα συμφωνήσω με το Γιώργο! Γίνονται συνέχεια αψυχολόγητες περικοπές στην ύλη... Να αναφέρω επίσης ότι η άσκηση

εκφράζει το 2ο θεώρημα διαμέσων (επίσης εκτός ύλης από φέτος!!!!). Δύο σε ένα!

#9

Γιώργος Απόκης έγραψε:
Γιώργος Ρίζος έγραψε: Ουσιαστικά, αποδεικνύουμε το θεώρημα των προβολών. Οπότε αναρωτιέμαι: Αν είναι να ζητάμε από τους μαθητές τις ίδιες ασκήσεις, αλλά στερώντας τους εργαλεία (= μείωση ύλης), αυτό ονομάζεται πρόοδος;
Θα συμφωνήσω με το Γιώργο! Γίνονται συνέχεια αψυχολόγητες περικοπές στην ύλη... Να αναφέρω επίσης ότι η άσκηση

εκφράζει το 2ο θεώρημα διαμέσων (επίσης εκτός ύλης από φέτος!!!!). Δύο σε ένα!

Τουλάχιστον ως προς αυτό υπάρχει συνέπεια εκ μέρους των σοφών. Το καταργούν και από τη γενική παιδεία και από τον προσανατολισμό. Και για να μη μείνει παραπονεμένη η Άλγεβρα, κατάργησαν και τα γραμμικά συστήματα

Διάμεσος και ύψος

Διάμεσος και ύψος

Re: Διάμεσος και ύψος

Re: Διάμεσος και ύψος

Re: Διάμεσος και ύψος

Re: Διάμεσος και ύψος

Re: Διάμεσος και ύψος

Re: Διάμεσος και ύψος

Re: Διάμεσος και ύψος

Re: Διάμεσος και ύψος

Μέλη σε σύνδεση