Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

#21

Soteris έγραψε:Γ΄ Λυκείου

Πρόβλημα 3

Σε οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle{\rm AB\Gamma} ({\rm AB}<{\rm A\Gamma})}$ φέρουμε τις διαμέτρους $\displaystyle{\rm \Gamma\Delta}$ και $\displaystyle{\rm BE}$ . Έστω $\displaystyle{(\omega_1)}$ ο κύκλος διαμέτρου $\displaystyle{\rm BE}$ και $\displaystyle{(\omega_2)}$ ο κύκλος διαμέτρου $\displaystyle{\rm \Gamma\Delta}$ . Από την κορυφή $\displaystyle{\rm A}$ φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $\displaystyle{\rm{AK, A\Lambda}}$ που άγονται προς τους κύκλους $\displaystyle{(\omega_1)}$ και $\displaystyle{(\omega_2)}$ , αντίστοιχα. Αν $\displaystyle{\rm P}$ ένα από τα κοινά σημεία των κύκλων $\displaystyle{(\omega_1)}$ και $\displaystyle{(\omega_2)}$ , η ευθεία $\displaystyle{\rm AP}$ τέμνει το $\displaystyle{\rm K\Lambda}$ στο $\displaystyle{\rm Z}$ και την πλευρά $\displaystyle{\rm B\Gamma}$ στο $\displaystyle{\rm T}$ . Η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\angle{\rm KA\Lambda}}$ τέμνει το $\displaystyle{\rm K\Lambda}$ στο $\displaystyle{\rm M}$ και την πλευρά $\displaystyle{\rm B\Gamma}$ στο $\displaystyle{\rm N}$ . Να αποδείξετε ότι τα σημεία $\displaystyle{\rm Z, T, M, N}$ είναι ομοκυκλικά.

: Παγκύπριο 2016 (Γ Λυκείου).png (23.09 KiB) Προβλήθηκε 1043 φορές

Από την αντίστοιχη άσκηση της Β΄ Λυκείου παίρνουμε $\displaystyle{{\rm A}\Lambda = {\rm A}{\rm K} \Leftrightarrow {\rm A}{\rm M} \bot {\rm K}\Lambda }$ και $\displaystyle{{\rm A}{\rm P} \bot {\rm B}\Gamma }$ , απ' όπου έπεται το ζητούμενο.

#22

Soteris έγραψε:Γ΄ Λυκείου

Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων $\displaystyle{(x, y)}$ που αποτελούν λύσεις της εξίσωσης: $\displaystyle{x^2+2xy+y^2-x+y-4=0}$

Μου φαίνεται περίεργο αυτό ως πρώτο θέμα. Θεωρώ ότι μια διοφαντική με άπειρες λύσεις είναι δυσκολότερα αντιμετωπίσιμη από άλλα θέματα.

Η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{y^2+(2x+1)y+x^2+x-4=0.}$

Αν αυτή έχει ακέραια λύση πρέπει η παράσταση $\displaystyle{(2x+1)^2-4(x^2+x-4)}$ να είναι τέλειο τετράγωνο, δηλαδή να υπάρχει θετικός ακέραιος $\displaystyle{z,}$ ώστε

$\displaystyle{8x+17=z^2.}$

Από εδώ φαίνεται ότι ο $\displaystyle{z}$ είναι περιττός, οπότε $\displaystyle{z=2k+1,~k\in \mathbb{Z}.}$

Με αντικατάσταση στην παραπάνω βρίσκουμε $\displaystyle{x=\frac{k^2+k-4}{2}}$ (που προφανώς είναι ακέραιος).

Λϋνοντας τότε την αρχική δευτεροβάθμια βρίσκουμε

$\displaystyle{y=\frac{-k^2+k+4}{2}~~\vee y=\frac{-k^2-3k+2}{2}.}$

Η επαλήθευση είναι άμεση.

Άρα η εξίσωση έχει άπειρες ακέραιες λύσεις, τις

$\displaystyle{\left(\frac{k^2+k-4}{2},\frac{-k^2+k+4}{2}\right),~\left(\frac{k^2+k-4}{2},\frac{-k^2-3k+2}{2}\right)}$

#23

Soteris έγραψε:Γ΄ Λυκείου

Πρόβλημα 2

(α) Δίνεται συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{f(x)=x^3-32x+64}$ . Να μελετήσετε τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ως προς την μονοτονία της.

(β) Έστω $\displaystyle{a, \beta>0}$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{a\beta=1}$ . Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{(a+\beta)^6\geqslant 32(a^2+\beta^2)}$

Βάζω μια απόδειξη που παρακάμπτει το α) ερώτημα.

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{(a+b)^6\geq 32(ab)^2(a^2+b^2).}$

Λόγω ομογένειας μπορούμε να υποθέσουμε ότι $\displaystyle{a+b=2,}$ οπότε υπάρχει $\displaystyle{x\in (-1,1),}$ ώστε $\displaystyle{a=1+x,b=1-x.}$

Τότε η αποδεικτέα γράφεται

$\displaystyle{(1-x^2)(1-x^4)\leq 1,}$ που φανερά ισχύει.

#24

matha έγραψε:
Θέλουμε να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{(a+b)^6\geq 32(ab)^2(a^2+b^2).}$

Άλλη μία προσέγγιση. Έχουμε ότι $4ab\leq (a+b)^2$ και

$\displaystyle 2ab(a^2+b^2)\leq\left(\frac{2ab+a^2+b^2}{2}\right)^2$ οπότε $8ab(a^2+b^2)\leq (a+b)^4$ .

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε το ζητούμενο.

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016)

Μέλη σε σύνδεση