Βασικά θεωρήματα

M.S.Vovos · #1

Παίζοντας με τον διαφορικό λογισμό προέκυψαν τα παρακάτω. Αν και εύκολα, θεωρώ ότι, έχουν διδακτική αξία.

(α) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ . Αν $f(a)\cdot f(b)<0$ , τότε να αποδείξετε ότι υπάρχουν $x_{1},x_{2}\in (a,b)$ τέτοια ώστε $f'\left ( x_{1} \right )\cdot f'\left ( x_{2} \right )>0$ .

(β) Θεωρούμε την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ . Αν $f(a)\cdot f(b)>0$ και υπάρχει $\gamma \in \left ( a,b \right )$ τέτοιο ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης

στο σημείο $\displaystyle{M\left ( \gamma ,f(\gamma ) \right )}$ να τέμνει τον άξονα των τετμημένων, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

παρουσιάζει τουλάχιστον ένα ακρότατο στο πεδίο ορισμού της.

Φιλικά,
Μάριος

#2

M.S.Vovos έγραψε: (α) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ . Αν $f(a)\cdot f(b)<0$ , τότε να αποδείξετε ότι υπάρχουν $x_{1},x_{2}\in (a,b)$ τέτοια ώστε $f'\left ( x_{1} \right )\cdot f'\left ( x_{2} \right )>0$ .

Από Bolzano υπάρχει $\xi \in (a,b)$ με $f(\xi)=0$ . Από Θ.Μ.Τ. υπάρχουν $x_1\in (a, \xi), x_2 \in (\xi, b)$ με

$-f(a) = f(\xi)-f(a) = f'(x_1) (\xi - a)$ και $f(b) = f(b) - f(\xi)= f'(x_2)(b-\xi )$ .

Άρα

$0 < -f(a)f(b) = f'(x_1)f'(x_2)(\xi - a)(b-\xi )$

από όπου το ζητούμενο αφού $\xi - a >0, \, b-\xi > 0$

M.S.Vovos έγραψε:(β) Θεωρούμε την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ . Αν $f(a)\cdot f(b)>0$ και υπάρχει $\gamma \in \left ( a,b \right )$ τέτοιο ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο $\displaystyle{M\left ( \gamma ,f(\gamma ) \right )}$ να τέμνει τον άξονα των τετμημένων, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει τουλάχιστον ένα ακρότατο στο πεδίο ορισμού της.

ΠΑΡΑ πολύ επιτηδευμένη άσκηση που μάλλον κακό κάνει στον μαθητή παρά καλό. Για τον απλούστατο λόγο ότι σχεδόν όλες οι υποθέσεις είναι περιττές: Κάθε συνεχής συνάρτηση (είτε είναι δύο φορές παραγωγίσιμη είτε όχι, είτε έχει την περίεργη ιδιότητα της εφαπτομένης είτε όχι) σίγουρα παρουσιάζει τουλάχιστον ένα ακρότατο στο πεδίο ορισμού της (από έτοιμο θεώρημα).

M.S.Vovos έγραψε: $f(a)\cdot f(b)<0$
$f'\left ( x_{1} \right )\cdot f'\left ( x_{2} \right )>0$

Για την χρήση των κουκκίδων ως σύμβολο του πολλαπλασιασμού, βλέπε ένα σχόλιο εδώ

M.S.Vovos · #3

Ευχαριστώ κ. Μιχάλη!
Η άσκηση κατέληξε σε "πατάτα". Ήθελα να πατήσει στην παραπάνω άσκηση αλλά δεν τα κατάφερα.
Να την διαγράψω; Μήπως σώζεται αν το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών;
Πολύ χρήσιμο αυτό με τον πολλαπλασιασμό. Θα το έχω υπόψη μου σε νέες δημοσιεύσεις.

Με εκτίμηση,
Μάριος

#4

M.S.Vovos έγραψε: Να την διαγράψω;

Μάριε, δεν υπάρχει λόγος να την διαγράψεις. Άλλωστε θα μείνει τότε μετέωρη η απάντηση.

Το να γράφουμε εσφαλμένη λύση ή προβληματική εκφώνηση δεν είναι μεμπτό. Άλλωστε το έχω κάνει ο ίδιος
τόσες και τόσες φορές. Αυτή είναι η χαρά του φόρουμ: Είναι ζωντανή επικοινωνία, real time, οπότε
εμφιλοχωρούν και ποστ που δεν θα έμπαιναν π.χ. σε ένα βιβλίο που το διαβάζουμε και ξαναδιαβάζουμε, και εμείς και οι φίλοι μας, πριν το στείλουμε στο τυπογραφείο. Και πάλι δεν είναι τέλειο...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

M.S.Vovos έγραψε:Παίζοντας με τον διαφορικό λογισμό προέκυψαν τα παρακάτω. Αν και εύκολα, θεωρώ ότι, έχουν διδακτική αξία.

(α) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ . Αν $f(a)\cdot f(b)<0$ , τότε να αποδείξετε ότι υπάρχουν $x_{1},x_{2}\in (a,b)$ τέτοια ώστε $f'\left ( x_{1} \right )\cdot f'\left ( x_{2} \right )>0$ .

Φιλικά,
Μάριος[/b]

Δεν χρειάζεται η υπόθεση ότι $f(a)\cdot f(b)<0$
Ειναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος των τριών σημείων το οποίο είναι

Αν $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσημη συνάρτηση στο ανοικτό διάστημα

που δεν είναι σταθερή
τότε υπάρχουν τρία διαφορετικά σημεία $a,b.c\in I$
με $f'(a),f'(b),f'(c)\neq 0$

Και επειδή αν έχουμε τρείς μη μηδενικούς αριθμούς τότε τουλάχιστον δύο από αυτούς είναι ομόσημοι
το συμπέρασμα έπεται.

Βασικά θεωρήματα

Βασικά θεωρήματα

Re: Βασικά θεωρήματα

Re: Βασικά θεωρήματα

Re: Βασικά θεωρήματα

Re: Βασικά θεωρήματα

Μέλη σε σύνδεση