Ανισότητα με συνθήκη

#1

Αν

μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a+b+c=ab+bc+ca>0

να δείξετε ότι:

$a^2+b^2+c^2+5abc\geq 8$

Αλέξανδρος

#2

Αλέξανδρε, είναι ωραίο πρόβλημα. Εγώ όποτε θέλουμε κάτω φράγμα για το abc

χρησιμοποιώ την ανισότητα Schur στη μορφή
$(a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$ .

Οπότε αν θέσουμε a+b+c=x

, παίρνουμε ότι $\displaystyle abc\geq\frac{4x^2-x^3}{9}$ . Προφανώς, από την $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$ έχουμε ότι $x\geq 3$

Επομένως αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle{x^2-2x+\frac{5(4x^2-x^3)}{9}\geq 8}$ (1) ή ισοδύναμα ότι

$(4-x)(x-3)(5x+6)\geq 0$ , οπότε αν $x\leq 4$ έχουμε τελειώσει.

Αν τώρα x>4

τότε

οπότε και πάλι τελειώσαμε.

#3

Σιλουανέ ευχαριστώ πολύ. Έχουμε ακριβώς την ίδια λύση σε μία άσκηση που είχε δημοσιεύσει ο φίλος Πρόδρομος Ελευθερίου στο facebook πριν 2 ημέρες.

Εκεί υπάρχει και μία λάθος ("αληθοφανής" όμως) λύση (η πρώτη) αφού η συνάρτηση g(x)

που χρησιμοποιείται δεν ορίζεται στο 1-a

κι έτσι δεν είναι σωστή η μελέτη της συνάρτησης. Εξάλλου φαίνεται και από το παράδειγμα $(a,b,c)=\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{4}\right)$ που ικανοποιεί τα δεδομένα αλλά δεν είναι όλοι οι αριθμοί μεγαλύτεροι της μονάδας

Για την Ιστορία η άσκηση βρίσκεται εδώ https://www.facebook.com/groups/1190609 ... 262060190/

Αλέξανδρος

Ανισότητα με συνθήκη

Ανισότητα με συνθήκη

Re: Ανισότητα με συνθήκη

Re: Ανισότητα με συνθήκη

Μέλη σε σύνδεση