Putnam 2016/A1

#1

Να βρεθεί ο μικρότερος θετικός ακέραιος

έτσι ώστε για κάθε πολυώνυμο p(x)

με ακέραιους συντελεστές, και κάθε ακέραιο

, ο ακέραιος $p^{(j)}(k)$ (δηλαδή η

-οστή παράγωγος του p(x)

στο

) να διαιρείται με το 2016

.

#2

Η

τάξης παράγωγος κάθε όρου a_nx^n

του πολυωνύμου p(x)

είναι $n(n-1)(n-2)\cdots (n-j+1)a_nx^{n-j}$ και ο συντελεστής είναι γινόμενο

διαδοχικών ακεραίων άρα από γνωστή πρόταση είναι πολλαπλάσιο του

Επειδή $2016=2^5\cdot 3^2 \cdot 7$ , άρα ο $p^{(j)}(k)$ θα πρέπει να διαιρείται από τους 2^5, 3^2, 7

κι έτσι ο ζητούμενος ακέραιος

είναι τουλάχιστον το

αφού πχ για το πολυώνυμο p(x)=x^6

ισχύει $7\nmid p^{(7)}(x)=6!$ .

Από την άλλη, το πολυώνυμο p(x)=x^7

έχει $p^{(7)}(x)=7!=5040$ και διαιρείται μεν από το

, το

και το

αλλά όχι από το 2^5

(άρα ούτε από το 2016

). Έτσι, ούτε η τιμή

είναι δεκτή.

Τέλος, αν j=8

τότε αφού κάθε όρος του $p^{(j)}(k)$ έχει συντελεστή που είναι πολλαπλάσιο του $8!=20\cdot 2016$ , θα είναι πολλαπλάσιο και του 2016

.

Συνεπώς ο ζητούμενος αριθμός είναι ο $\boxed{j=8}$ .

Αλέξανδρος