Από ανισότητα σε ισότητα

M.S.Vovos · #1

Έστω η γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με f(0)=0

. Αν για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$ ισχύει:
$\left ( f\circ f \right )(x)+(2x+1)y\leqslant \left ( f\circ f \right )(y)+y^{2}+x+x^{2}$ Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης

.

Φιλικά,
Μάριος

#2

Θέτουμε

και η δοσμένη σχέση γίνεται

$g(x)-g(y)\leq (x-y)^2$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ και εναλλάσσοντας τα x,y

παίρνουμε $g(x)-g(y)\geq -(x-y)^2$

Έτσι $-(x-y)^2\leq g(x)-g(y)\leq (x-y)^2$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ οπότε σταθεροποιώντας το

ως

παίρνουμε αφενός ότι για κάθε $x\neq x_0$ είναι

$\left|\dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\right|\leq |x-x_0|$ και αφετέρου από το κριτήριο παρεμβολής ότι
$\displaystyle\lim_{x\to x_0}\dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=0$ δηλαδή g'(x_0)=0

. Επειδή αυτό συμβαίνει για το τυχαίο x_0

, συμβαίνει για κάθε $x_0\in\mathbb{R}$ .

Άρα g'(x)=0

οπότε η

είναι σταθερή. Επειδή επιπλέον g(0)=0

άρα

για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Άρα f(f(x))=x

για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Θα αποδείξουμε τώρα ότι f(x)=x

για κάθε $x\in\mathbb{R}$

Επειδή η

είναι γνησίως αύξουσα, αν υπάρχει x_0

ώστε

τότε παίρνουμε f(f(x_0))>f(x_0)=x_0

δηλαδή

, άτοπο

Αν υπάρχει x_0

ώστε

τότε παίρνουμε f(f(x_0))<f(x_0)=x_0

δηλαδή

, άτοπο

Άρα f(x)=x

για κάθε $x\in\mathbb{R}$ συνάρτηση που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος.

Αλέξανδρος

M.S.Vovos · #3

Πολύ ωραία κ. Αλέξανδρε!

Από ανισότητα σε ισότητα

Από ανισότητα σε ισότητα

Re: Από ανισότητα σε ισότητα

Re: Από ανισότητα σε ισότητα

Μέλη σε σύνδεση