Γ' λυκείου: Εύρεση τύπου συνάρτησης

M.S.Vovos · #1

Έστω $n\in \mathbb{N}$ , η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ και η ομαλή (άπειρες φορές παραγωγίσιμη) συνάρτηση $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ . Αν $f(0)=g^{(n)}(0)=0$ και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύουν: $f'(x)\neq 0 \hspace{4mm} (1)$

$\displaystyle \left ( \frac{f\circ g^{(n)}}{f'\circ g^{(n)}} \right )(x)=g^{(n+1)}(x) \hspace{4mm} (2)$ Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης

.

Φιλικά,
Μάριος

Μέχρι 30/12/2016.

M.S.Vovos · #2

Επαναφορά και για τους μεγάλους!

andreas576 · #3

M.S.Vovos έγραψε:Έστω $n\in \mathbb{N}$ , η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ και η ομαλή (άπειρες φορές παραγωγίσιμη) συνάρτηση $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ . Αν $f(0)=g^{(n)}(0)=0$ και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύουν: $f'(x)\neq 0 \hspace{4mm} (1)$

$\displaystyle \left ( \frac{f\circ g^{(n)}}{f'\circ g^{(n)}} \right )(x)=g^{(n+1)}(x) \hspace{4mm} (2)$ Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης .

Φιλικά,
Μάριος

Μέχρι 30/12/2016.

Αν ονομάσουμε $h(x)=(f\circ g^{(n)})(x)$ τότε από την (2)

έχουμε οτι
h(x)=h'(x)

άρα $h(x)=ce^{x}$ με $c\in R$ .Αφού $f(0)=g^{(n)}(0)=0$ τότε h(0)=0

άρα

και τελικά $h(x)=0, \forall x\in R$ .
Αφού $f'(x)\neq 0 , \forall x\in R$ τότε f 1-1 και άρα $(f\circ g^{(n)})(x)=0=f(0)\Leftrightarrow g^{(n)}(x)=0 , \forall x\in R$
Άρα η

είναι πολυώνυμο το πολυ n-1

βαθμού

Γ' λυκείου: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Γ' λυκείου: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Γ' λυκείου: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Γ' λυκείου: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση