Ύπαρξη συνάρτησης

M.S.Vovos · #1

Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη, για την οποία, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , ισχύει:
$\displaystyle{f'(x)f''(x)\neq 0 \hspace{5mm} (1)}$

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f'(x)=-\infty \hspace{5mm} (2)}$ Αν δεν υπάρχει, να δώσετε απόδειξη, αν υπάρχει να δώσετε παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης.

Φιλικά,
Μάριος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Βάσει του
viewtopic.php?f=52&t=56940&p=274289#p274289
η

είναι γνησίως αύξουσα.
Αρα $x\in \mathbb{R}\Rightarrow f'(x)\geq 0$
Αρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.
Η δεύτερη παράγωγος είναι παπούτσι.
Δεν χρειάζεται καν ότι έχει δεύτερη παράγωγο.

#3

Ούτε η συνθήκη

M.S.Vovos έγραψε: $\displaystyle{f'(x)f''(x)\neq 0 \hspace{5mm} (1)}$

χρειάζεται. Απλά εύκολα βλέπουμε από Rolle ότι δεν υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση με

M.S.Vovos έγραψε: $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f'(x)=-\infty \hspace{5mm} (2)}$

M.S.Vovos · #4

Ίδια ερώτηση αν:

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , ισχύει: $\displaystyle{f'(x)f''(x)\neq 0 \hspace{5mm} (1)}$

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=-\infty \hspace{4mm}\kappa \alpha \iota \hspace{2mm}\lim_{x\rightarrow +\infty }f'(x)=+\infty \hspace{5mm} (2)}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

M.S.Vovos έγραψε:Ίδια ερώτηση αν:

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , ισχύει: $\displaystyle{f'(x)f''(x)\neq 0 \hspace{5mm} (1)}$

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=-\infty \hspace{4mm}\kappa \alpha \iota \hspace{2mm}\lim_{x\rightarrow +\infty }f'(x)=+\infty \hspace{5mm} (2)}$

Υπάρχει $f(x)=x+e^{x}$

Ύπαρξη συνάρτησης

Ύπαρξη συνάρτησης

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση