Ο μικρότερος αριθμός

ealexiou · #1

Να βρεθεί ο μικρότερος αριθμός ο οποίος διαιρούμενος με τους αριθμούς $ab,\ aba,\ abab$ αφήνει υπόλοιπο $a,\ ab,\ aba$ αντίστοιχα.

Τα γράμματα $a,\ b$ συμβολίζουν ψηφία αριθμού.

Ευθύμης

jason.prod · #2

Μια ερώτηση μόνο: οι a,b

δεν έχουν καμιά σχέση με το ζητούμενο αριθμό, έτσι;

ealexiou · #3

jasonmaths4ever έγραψε:Μια ερώτηση μόνο: οι δεν έχουν καμιά σχέση με το ζητούμενο αριθμό, έτσι;

Ναι έτσι, τα a, b

τυχαίνει να μην είναι ψηφία του ζητούμενου αριθμού

harrisp · #4

ealexiou έγραψε:Να βρεθεί ο μικρότερος αριθμός ο οποίος διαιρούμενος με τους αριθμούς $ab,\ aba,\ abab$ αφήνει υπόλοιπο $a,\ ab,\ aba$ αντίστοιχα.
Τα γράμματα $a,\ b$ συμβολίζουν ψηφία αριθμού.

Ευθύμης

Επαναφορά!

harrisp · #5

Ειναι λίγο νωρίς για να ξανά επαναφέρω αλλα μάλλον εχει ξεχαστεί...

harrisp · #6

ealexiou έγραψε:Να βρεθεί ο μικρότερος αριθμός ο οποίος διαιρούμενος με τους αριθμούς $ab,\ aba,\ abab$ αφήνει υπόλοιπο $a,\ ab,\ aba$ αντίστοιχα.
Τα γράμματα $a,\ b$ συμβολίζουν ψηφία αριθμού.

Ευθύμης

Επαναφορά!

#7

Ας το δούμε λοιπόν. Κατ' αρχάς να κάνουμε μια διόρθωση στην εκφώνηση:

Να βρεθεί ο μικρότερος αριθμός για τον οποίον υπάρχουν ψηφία ώστε ο διαιρούμενος με τους αριθμούς $ab,\ aba,\ abab$ αφήνει υπόλοιπο $a,\ ab,\ aba$ αντίστοιχα.

Θα δείξουμε ότι ο μικρότερος

είναι ο

. [Με τα ψηφία a=1,b=5

.]

Οι τρεις συνθήκες γίνονται

$n \equiv a \bmod (10a+b) \quad (1)$
$n \equiv 10a+b \bmod (100a+10b+a) \quad (2)$
$n \equiv 100a+10b+a \bmod (1000a+100b+10a+b) \quad (3)$

Από την (3) υπάρχει φυσικός

ώστε

$\displaystyle{ n = 101k(10a+b) + 100a + 10b + a= 101k(10a+b) = 101k(10a+b) + 10(10a+b) + a}$

οπότε ικανοποιείται σίγουρα και η (1).

Επίσης είναι

$\displaystyle{ n = 10k(100a+10b+a) + (100a+10b + a) + bk}$

Άρα για να ικανοποιείται και η (2) πρέπει

$\displaystyle{ 10a+b \equiv bk \bmod (100a+10b+a)}$

ή ισοδύναμα

$\displaystyle{ 10a \equiv b(k-1) \bmod (100a+10b+a)}$

Αν k=1

, επειδή

, πρέπει

, άτοπο. (Ασφαλώς πρέπει a=0

.)
Για

επίσης καταλήγουμε σε άτοπο ενώ για k=3

καταλήγουμε στο 10a = 2b

που δίνει

και

.

Για

παίρνουμε

το οποίο καταλήγει σε άτοπο. Τέλος για $k \geqslant 5$ έχουμε n > 1000ak > 5000

.

Οπότε ο μικρότερος φυσικός είναι ο 4696

.

Ο μικρότερος αριθμός

Ο μικρότερος αριθμός

Re: Ο μικρότερος αριθμός

Re: Ο μικρότερος αριθμός

Re: Ο μικρότερος αριθμός

Re: Ο μικρότερος αριθμός

Re: Ο μικρότερος αριθμός

Re: Ο μικρότερος αριθμός

Μέλη σε σύνδεση