Ανοιχτό πρόβλημα

Γιάννης Μπόρμπας · #1

Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί (p,q)

που ικανοποιούν την εξίσωση:
p^3+p=q^7+q

.

thrassos · #2

Καλησπέρα Γιάννη,
Μια προσπάθεια για την άσκηση.
Αρχικά, παραγοντοποιούμε τα δύο μέλη και τα φέρνουμε στην εξής μορφή p(p^2+1)=q(q^6+1)

από όπου έπεται πως
p|q^6+1

και

. Άρα διακρίνουμε τις περιπτώσεις :
$\bullet$ q=2

και άρα παίρνουμε ότι p=5

ή

και επειδή για p=13

δεν ικανοποιείται η αρχική καταλήγουμε πως ένα ζεύγος είναι το (p,q)=(5,2)

.

$\bullet$ q=odd

και άρα από την σχέση p|q^6+1

παίρνουμε ότι p=2

και από την αρχική εξίσωση έπεται πως LHS<RHS

και άρα αυτή η περίπτωση δεν γεννάει λύσεις.

Φιλικά,
Θράσος

Γιάννης Μπόρμπας · #3

thrassos έγραψε:Καλησπέρα Γιάννη,
Μια προσπάθεια για την άσκηση.
Αρχικά, παραγοντοποιούμε τα δύο μέλη και τα φέρνουμε στην εξής μορφή από όπου έπεται πως
και . Άρα διακρίνουμε της περιπτώσεις :
$\bullet$ και άρα παίρνουμε ότι ή και επειδή για δεν ικανοποιείται η αρχική καταλήγουμε πως ένα ζεύγος είναι το .

$\bullet$ και άρα από την σχέση παίρνουμε ότι και από την αρχική εξίσωση έπεται πως και άρα αυτή η περίπτωση δεν γεννάει λύσεις.

Φιλικά,
Θράσος

Γιατί από την σχέση p|q^6+1

έπεται πως p=2

?

harrisp · #4

Μπορεί ενας περιττός πρωτος να διαίρει έναν άρτιο.

3|24

thrassos · #5

Χάρη αυτό είναι προφανέστατο, απλά εγώ βιάστηκα και έκανα λάθος. Θα επανέλθω όμως μόλις σκεφτώ κάτι πιο καλά τεκμηριωμένο.

Γιάννης Μπόρμπας · #6

Μία από τις προσεγγίσεις μου στο πρόβλημα είναι οι εξής:
Προφανώς p>q^2

και τώρα:
1) Αν p=q^2+1

τότε προκύπτει η λύση (p,q)=(5,2)

2) Αν

τότε

και από την σχέση: p(p^2+1)=q(q^2+1)(q^4-q^2+1)

έπεται πως p|q^4-q^2+1

(1) και

(2)
Από την σχέση (2) πρέπει $\left(\frac{-1}{q}\right)=1$ άρα από Legendre $q\equiv1(\mod{4})$
Από την σχέση (1) πρέπει p|(q^2-1)^2+q^2

άρα $\left(\frac{-q^2}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)=1$ επομένως $p\equiv1(\mod{4})$
Επίσης από την (1) p|4q^4-4q^2+1+3=(2q^2-1)^2+3

άρα πάλι $\left(\frac{-3}{p}\right)$ επομένως $p\equiv1(\mod6)$ άρα $p\equiv1(\mod{12})$
Από εκεί και πέρα δεν έχω βρει κάποιον τρόπο να αξιοποιήσω τα παραπάνω.

Γιάννης Μπόρμπας · #7

Σε αυτό το σημείο θα ήθελα να προσθέσω πως αυτή η άσκηση παραμένει άλυτη. Βέβαια θα χαιρόμουν αν θα ήθελε κάποιος να ασχοληθεί με αυτήν και να προσθέσει τα συμπεράσματά του στο ποστ. Σας ευχαριστώ θερμά όλους όσους τουλάχιστον την κοιτάξατε.

#8

Επαναφορά!

Ορέστης Λιγνός · #9

Η λύση εδώ.

Γιάννης Μπόρμπας · #10

Είχα ξεχάσει να αναφέρω πως λύθηκε. Καλά που αναφέρθηκε...

Αρχιμήδης 6 · #11

Το ίδιο και αν (p,q)=1

(χωρίς δηλαδή συνθήκη πρώτων).
Ενδιαφέρον παρουσιάζει στους ακέραιους.

Ανοιχτό πρόβλημα

Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Μέλη σε σύνδεση